数学高教版（2021）向量的坐标表示优秀教案

这是一份数学高教版（2021）向量的坐标表示优秀教案，共9页。教案主要包含了教学内容解析，教学目标设置，教学重难点设置，学生学情分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
本节内容是中职数学高教版拓展一上的“2.4.1 向量的坐标表示”，主要讲解了平面向量的坐标表示。通过引入平面直角坐标系，将几何图形与代数运算相结合，使学生能够理解并掌握用坐标表示向量的方法。这一内容不仅为后续学习奠定了基础，还培养了学生运用数学工具解决实际问题的能力。。
二、教学目标设置
知识与技能
理解平面向量坐标表示的定义，掌握根据起点和终点坐标计算向量坐标的方法。
掌握在平面直角坐标系中，点与有序实数对之间的一一对应关系。
过程与方法
通过实例分析，帮助学生理解向量的坐标表示及其应用。
引导学生进行自主探究，提高其分析和解决问题的能力。
情感态度与价值观
激发学生对数学学习的兴趣，增强其自信心和求知欲。
培养学生严谨的科学态度和团队合作精神。
三、教学重难点设置
重点：
理解平面向量坐标表示的定义，掌握根据起点和终点坐标计算向量坐标的方法。
理解平面直角坐标系中点的坐标与以原点为起点的向量之间的一一对应关系。
理解向量坐标在几何图形中的应用，能将几何问题转化为坐标运算。
难点：
平面向量坐标表示的理解与确定。
向量坐标运算法则的掌握与应用。
向量坐标表示在几何中的应用。
向量坐标运算法则的推导。
四、学生学情分析
本节课面向中职一年级学生，他们已经具备一定的平面几何基础，但对于向量的概念和运算可能较为陌生。因此，在教学中需要从基本概念入手，逐步引导学生理解向量的坐标表示及其应用。同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和动手操作能力，使其能够在实际问题中灵活运用所学知识
五、教学过程设计
六、教学反思
采用循序渐进的方式讲解向量的坐标表示，确保学生能够跟上教学进度。可以先从简单的二维向量开始，再逐渐过渡到三维向量。
鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，及时解答学生的疑问。同时，可以组织小组合作学习，让学生相互交流、共同进步。
在课后作业中设置不同层次的题目，满足不同学生的需求。基础作业注重巩固基础知识；中等作业要求学生理解向量的坐标表示；拓展作业则引导学生预习后续内容，培养其自主学习能力。教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
第一环节：导入环节
回顾平面直角坐标系
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x，y)是一一对应的，(x，y)是点P的坐标.
思考向量的表示
在平面直角坐标系内，每一个向量是否也可以像平面内的任意点那样，与有序实数对建立对应关系呢?
思考向量的表示
取x轴单位向量i、取y轴单位向量j
以原点O为起点做向量 ，点P的坐标为(x，y).
向量 OP与两个单位向量 i、j之间有什么关系呢?
教师提问：“数轴上的点与实数一一对应，那么平面内的向量能否也与有序实数对建立对应？”学生思考并讨论。
通过类比数轴与平面直角坐标系，引导学生思考向量的表示方法，激发学习兴趣，为后续内容做铺垫。
第二环节：新课讲解环节
用坐标表示向量
如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴和y轴上取单位向量 i,j,使其起点均为原点，方向分别与x轴和y轴的正向相同. OA为以原点为起点的向量， 点A 的坐标为(2，3)，则
OM=2i,MA=ON=3j.
由向量加法的三角形法则，可知
OA=OM+MA=2i+3j
探究
1. 以原点O为起点作 OA=a,点A的位置由谁确定?
由 a唯一确定
2. 点A的坐标与向量 a的坐标的关系?
两者相同
向量a与
起点为坐标原点，终点坐标 (x，y)一一对 应
向量的坐标表示
设 a是平面直角坐标系中任意一个向量，作向量 OP=a,设点P的坐标为(x，y)，过点P分别向 x轴和y轴作垂线，垂足分别是 P1,P2, OP1=xi,OP2=yj,
OP=OP1+OP2=xi+yj.即 a=xi+yj. 1x0x
把式子 a=xi+yj叫作向量a关于基本单位向量的分解式.
定义：我们把有序实数对x，y叫做
向量 a的坐标，记作 a=xy.
显然， i=10,i=01,0=00.
推导
图中所示的以点A为起点的向量AB，记点A与点B的坐标分别为 x1y1,x2y2.则有
AB=OB−OA
=x2i+y2j−x1i+y1j
=x2−x1i+y2−y1j.
注意
点坐标与向量坐标的区别：
(1) 写法上,点坐标没有“=”,如点A (1, 2) ;向量坐标有“ =”,如 AB=12.
(2)理解上，点坐标可理解为静态的概念，如点A (1，2)表示在静止的点在直角坐标系中 的位置；而向量坐标可理解位动态的概念，如 AB=12可理解为从点A出发，按照先横后纵的规则运动到点B的运动轨迹.
教师示范作图并推导，学生跟随思考；教师提问：“点A的坐标与向量的坐标有什么关系？”学生回答并总结。
通过具体例子和推导，帮助学生理解向量坐标与点坐标的关系，培养逻辑推理能力，明确向量坐标的定义。
第三环节：例题讲解环节
例1 已知两点 A−23、B(3,1),求向量 AB和 BA的坐标.
解：
AB=3−−21−3=5−2;
BA=−2−3,3−1)=−52.
例2 在平面直角坐标系中， 已知两点 −33,(6,5),求向量 MN坐标.
解：
MN=6−−35−3=92
例3 已知向量 a=AB,若 a=13,点A的坐标为(1, 2),求点B 的坐标.
解： 设点B的坐标分别为(x，y)
AB=x−1y−2=13
得 {x−1=1y−2=3得 {x=2y=5
点B的坐标分别为(2，5)
例4 如图所示,⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0),求第四个顶点D的坐标.
解： 设点D的坐标分别为(x，y)
ABCD中 BA=CD
BA=2−−23−1=42
CD=x−−1y−0=x+1y
得 {x+1=4y=2得 {x=3y=2
点D的坐标分别为(3，2)
教师逐步讲解例题，学生尝试独立解答；教师提问：“点B的坐标如何确定？”学生回答并验证。
通过例题实践，加深学生对向量坐标计算的理解，提升解题能力，同时检验学生对知识点的掌握情况。
第四环节：课堂练习环节
1.当m, n为何值时, a=m+ni+3j与 b=2i+4m−nj相等?
解析
{m+n=23=4m−n得 {m=1n=1
2.设向量 a=3i−4j,则向量的坐标 a=_.
解析
a=3i−4j=3i+−4j
3−4
3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(−2，3)，写出向量OA的坐标，并用基本单位向量i,j表示向量OA.
解析 OA=−2i+3j
4.判断下列说法是否正确.
(1)x轴上的单位向量i的坐标为(1，0)；
(2)起点不在原点的向量不能确定它的坐标；
(3)由于x轴和y轴上的单位向量i,j的模都是1，所以它们的坐标相等；
(4)向量 OA的坐标是唯一确定的.
解析 √ ××√
5.已知两点A与B的坐标,求AB、BA的坐标.
(1) A(−1,5),B(−3,1);
(2) A(−5,3),B(4,5);
(3) A(2,−6),B(3,5).
解析 1AB=−3−−11−5=−2−4
BA=−1−−35−1=24
2AB=4−−55−3=92
BA=−5−43−5=−9−2
3AB=3−25−−6=111
BA=2−3−6−5=−1−11
6.如图所示，O为菱形ABCD对角线的交点， AC=4, BD=6..以对角线CA、DB所在的直线作x、y轴，求向量 OC、OD、AB.
解析A、B、 C、 D的坐标分别为(2,0)、 (0,3)、 (-2,0)、 (0,--3)
OC=−20
OD=0−3
AB=−23
学生独立完成练习，教师巡视指导；教师针对错误集中讲解，学生订正。
通过练习巩固所学知识，发现并解决学生的理解误区，强化向量坐标与点坐标的区别与联系。
第五环节：课堂小结环节
向量的坐标表示
设 a是平面直角坐标系中任意一个向量，作向量 OP=a,设点P的坐标为(x，y)，过点P分别向 x轴和y轴作垂线，垂足分别是 P1,P2, OP1=xi,OP2=yj,
OP=OP1+OP2=xi+yj.即 a=xi+yj. 1x0x
把式子 a=xi+yj叫作向量a关于基本单位向量的分解式.
定义：我们把有序实数对x，y叫做
向量 a的坐标，记作 a=xy.
显然， i=10,i=01,0=00.
注意
点坐标与向量坐标的区别：
(1) 写法上,点坐标没有“=”,如点A (1, 2) ;向量坐标有“ =”,如 AB=12.
(2)理解上，点坐标可理解为静态的概念，如点A (1，2)表示在静止的点在直角坐标系中 的位置；而向量坐标可理解位动态的概念，如 AB=12可理解为从点A出发，按照先横后纵的规则运动到点B的运动轨迹.
教师引导学生回顾本节课内容，学生总结；教师补充并强调关键点。
帮助学生梳理知识框架，强化重点内容，明确向量坐标与点坐标的区别，为后续学习打下基础。
第六环节：作业布置环节
1.基础作业：牢记公式与完成《学习指导与练习》；
2.中等作业：理解向量的坐标表示；
3.拓展作业: 预习2.4.2内容.
教师布置作业并说明要求，学生记录并提问。
通过分层作业，满足不同层次学生的学习需求，巩固基础知识，提升理解能力，并为下一节课预习做准备。