浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期模拟数学试卷【含答案】

这是一份浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期模拟数学试卷【含答案】，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设为虚数单位，若复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中的系数为
A．10B．20C．40D．80
4．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为
A．3B．6C．9D．12
5．若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
6．圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作．若事件，事件，事件C满足，则事件C的个数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
8．定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是19
B．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强
C．从小到大顺序排列的数据3，5，，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6
D．数据的平均数为，数据的平均数为，则有
10．设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数的最大值为2，则
B．若对于任意的，都有成立，则
C．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是
11．已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（ ）
A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形
B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形
C．当，时，截面为梯形
D．当，，时，截面为梯形
三、填空题
12．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为 ．
13．设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ．
14．已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，P为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则 ．
四、解答题
15．在中，已知，，．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积.
16．如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
17．已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用.重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立.
(1)若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率；
(2)求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率；
(3)求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率.
18．已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与y轴的交点为M，的面积为．
(1)求动点P的轨迹方程C；
(2)直线l：与点P的轨迹方程C交于D，E两点，O为坐标原点．试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值．
19．对定义在数集上的可导函数，若数列满足，其中为的导函数，则称为在上的“牛顿列”．
(1)若为的“牛顿列”，，求的通项公式；
(2)若为的“牛顿列”，其中，，求证：，；
(3)若为的“牛顿列”，求证：且，，其中为的唯一零点．
《浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期模拟数学试卷（1）》参考答案
1．B
【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.
【详解】因为集合，
，故，
故选：B
2．A
【分析】利用复数的除法化简复数即可.
【详解】.
故选：A.
3．C
【详解】分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4．B
【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可.
【详解】设扇形的半径为，由题意可得：，则，
扇形的面积.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．A
【分析】设公切线与、的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围．
【详解】解：设公切线与的图象切于点，，
与曲线切于点，，
因为，，则
，
化简可得，，得或，
，且，，则，即，
由得，
设，则，
在上递增，在上递减，
（2），
实数的取值范围为，，
故选：．
【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，属于中档题．
6．D
【分析】不妨设圆与二面角的棱切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，，设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，，由平面几何知识可求得，进而可求得离心率.
【详解】不妨设圆与二面角的棱切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，（如图）.
设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，，
则，，，由平面几何知识易得，，
故椭圆的离心率.
故选：
7．A
【分析】由独立乘法公式即可求解.
【详解】根据题意，得到,,则，
当，，等式成立；
当，，；
C中含6，从1,2,3,5的4个元素中选3个，共种.
同理，当也有4种，共种.
故选：A.
8．C
【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系.
【详解】由已知可得：，令，
则，
且，
再令，则，
当时，，即函数在上为增函数，
当时，，即函数在上为减函数，
，
在上恒成立，在上为减函数；
，，即.
故选：C.
9．ABD
【分析】由中位数的概念可判断A，由相关系数的意义可判断B，由极差、平均数、方差的计算公式可判断CD.
【详解】对于A，从小到大排序如下：13，15，16，18，20，24，28，31，
故中位数为，正确，
对于B，，所以组数据比组数据的线性相关性更强，正确，
对于C，由题意可知：极差为，平均数为，
则，解得，所以平均数为，
方差为，错误；
对于D，因为，所以，
则，正确；
故选：ABD
10．ACD
【分析】对A：根据正弦函数的有界性分析判断；对B：利用函数的周期的定义分析判断；对C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D：以为整体，结合正弦函数的性质分析判断.
【详解】A选项，由题意，则，A正确；
B选项，若，则的周期为，
设的最小正周期为，则，
解得，B错误；
C选项，当时，
∵，则，
若在区间上单调递增，则，
解得，C正确；
选项，由题意可得，对，在上至少两个零点，
∵，则，
若对，在上至少两个零点，则，解得，D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A