2024-2025学年福建省福清市高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福清市高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=elnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为( )
A. 0B. 1C. eD. 1e
2.3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有( )
A. 43B. 34C. 24D. 12
3.已知直线l与曲线y=x2−x在原点处相切，则l的倾斜角为( )
A. π4B. π3C. 2π3D. 3π4
4.导函数y=f′(x)的图象如图所示，在标记的点中，函数y=f(x)的极大值点为( )
A. x1B. x2C. x3D. x4
5.若(x− ax2)6展开式中的常数项为60，则常数a的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
6.一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为a的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，a的值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
7.由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为( )
A. 60B. 108C. 132D. 144
8.已知函数f(x)=lnx2−x+ax是增函数，则实数a的最小值为( )
A. −4B. −2C. 0D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin2x，则( )
A. f′(x)=cs2xB. f′π2=−2
C. f(x)在0,π4上的平均变化率为4πD. f(x)在x=0处的瞬时变化率为1
10.关于2x−1x6的展开式，下列结论正确的是( )
A. 二项式系数和为64B. 所有项的系数之和为1
C. 第三项的二项式系数最大D. 系数最大值为240
11.设函数f(x)=2x3+3ax2−1，则( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a −1时，证明：对于任意的实数m,n(m≠n)，都有f(m)−f(n)em−en>m+n2．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.A
6.B
7.B
8.B
9.BC
10.ABD
11.ABD
12. 22
13.−120
14.②④
15.【详解】(1)根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列，
共有A33A55=6×120=720(种)不同的安排方法．
(2)根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，
共有A44A53=24×60=1440(种)不同的排列方法．
(3)先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，
共有A42A55=12×120=1440(种)不同的排列方法．

16.【详解】(1)函数f(x)=−23x3+12x2+3x+a的定义域为R，
求导得f′(x)=−2x2+x+3=−(2x−3)(x+1)，由f′(x)32．
所以函数f(x)的单调递减区间是(−∞,−1)和(32,+∞)．
(2)由(1)知，函数f(x)在[−2,−1]上单调递减，在[−1,1]上单调递增，
因此函数f(x)在[−2,1]上的最小值为f(−1)=−116+a=−56，解得a=1，
而f(−2)=a+43=73，f(1)=a+176=236，f(1)>f(−2)，
所以函数f(x)在[−2,1]上的最大值为236．

17.【详解】(1)令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a2024=(−1)2024=1①.
(2)令x=−1，得a0−a1+a2−a3+⋯−a2023+a2024=32024②，
由①−②，得2a1+a3+a5⋯+a2023=1−32024，
∴a1+a3+a5+⋯+a2023=1−320242．
(3)相当于求展开式(1+2x)2024的系数和，令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a2024=32024．
(4)(1−2x)2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024(x∈R)，
两边分别求导，得−4048(1−2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2024a2024x2023(x∈R)，
令x=1，得a1+2a2+3a3+⋯+2024a2024=4048．

18.【详解】(1)函数f(x)=lnxax的定义域为(0,+∞)
所以f′(x)=1x⋅ax−lnx⋅a(ax)2=a−alnxa2x2=1−lnxax2
得f′(1)=1a，由1a⋅(−3)=−1，解得a=3
(2)由题意得，lnxax≥1x2在e,+∞上恒成立．
①当a>0时，不等式可化为a≤xlnx，
令ℎ(x)=xlnx,x∈e,+∞，则ℎ′(x)=lnx+1，
当x∈e,+∞时，ℎ′(x)≥2>0．
所以函数ℎ(x)在e,+∞上单调递增．
所以ℎ(x)在x=e处取得最小值ℎe=e，
故实数a的取值范围0,e．
②当a0，

所以，当k< −1e2时，方程有0个解，
当k=−1e2或k≥0时，方程有1个解，
当−1e2n，即证mem−nen>m+n2+1em−en，
两边同时除以en并化简，即证(m−n−2)em−n+m−n+2>0，
令t=m−n，则t>0，设F(t)=(t−2)et+t+2,t>0，
F′(t)=(t−1)et+1，令ℎ(t)=(t−1)et+1，则ℎ′(t)=tet>0在(0,+∞)上恒成立，
得F′(t)在(0,+∞)上单调递增，
故F′(t)>F′(0)=0，故F(t)在(0,+∞)上单调递增．
所以F(t)>F(0)=0，从而命题得证．