2024-2025学年甘肃省庆阳市环县一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省庆阳市环县一中高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.点A(3,4,5)关于坐标平面Oyz对称的点B的坐标为( )
A. (3,4,−5)B. (−3,4,5)C. (−3,4,−5)D. (−3,−4,−5)
2.已知f′(x0)=4,Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)2Δx的值是( )
A. 2B. 1C. 12D. −2
3.在等比数列{an}中，a3a5a7=−27，则a5=( )
A. −3B. 3C. −2D. 2
4.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等的是( )
A. AC+CDB. AC+BCC. DC+CB−DAD. AC+BD−BC
5.若f(x)=ex+12f′(0)x，则函数f(x)的函数关系式为( )
A. f(x)=ex−xB. f(x)=ex+xC. f(x)=ex−2xD. f(x)=ex+2x
6.如图是函数y=f(x)的图象，那么导函数f′(x)的零点个数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的8名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有5人会划左桨，5人会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )
A. 26种B. 31种C. 36种D. 37种
8.如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC，BD=DC=1，点E在AA1上，且AE=14AA1=12，则点B到平面EDC1的距离为( )
A. 5 B. 36
C. 53 D. 2 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. (x x+e3)′=32 x+3e2B. (csxx)′=−xsinx+csxx2
C. (4x−sinπ4)′=4xln4D. (lg2x)′=2xln10
10.下列说法中正确的是( )
A. 若a//b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基
B. 若{a,b,c}是空间的一组基，则{b+c,b−c,a}也是空间的一组基
C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP=34OA+18OB+18OC，则P，A，B，C四点不共面
D. 若P，A，B，C为空间四点，且有PA=λPB+μPC(PB,PC不共线)，则λ+μ=1是A，B，C三点共线的充要条件
11.定义在(0,π2)上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有csx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)g(π5)B. g(π4)>g(π6)
C. f(π6)> 3f(π3)D. 2f(π6)> 3f(π4)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=4，空间向量e为单位向量，=2π3，则空间向量a在向量e方向上的投影长为______．
13.若(1+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0−a1+a2−a3+a4−a5的值为______．
14.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切线，则a+b的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=−3，S7=−21．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=21−an，求数列{1−anbn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
(1)一名同学有5本不同的数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上.如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
(2)一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法？
17.(本小题15分)
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定义：(1)f(x)的导数f′(x)(也叫f(x)一阶导数)的导数，f″(x)为f(x)的二阶导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”；定义：(2)设x0为常数，若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x，都有f(x0+x)+f(x0−x)=2f(x0)恒成立，则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称．
(1)已知f(x)=x3−3x2+2x+2，求函数f(x)的“拐点”A的坐标；
(2)检验(1)中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称；
(3)对于任意的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)写出一个有关“拐点”的结论(不必证明)．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90°，D是CC1的中点．
(1)求平面A1BD与平面ABC夹角的余弦值；
(2)在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面A1BD所成角的正弦值为 36，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(x−1)−a2x(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x=2处取得极值，对∀x∈(1,+∞)，f(x)≤bx+lnx−1x+1恒成立，求实数b的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7.D
8.C
9.BC
10.ABD
11.CD
12.2
13.−32
14.2
15.(1)等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=−3，S7=−21，
设公差为d，可得3a1+3d=−3，7a1+21d=−21，
解得a1=0，d=−1，
则an=0−(n−1)=1−n；
(2)bn=21−an=2n，1−anbn=n2n，
则Tn=12+24+38+...+n2n，
12Tn=14+28+316+...+n−12n+n2n+1，
相减可得12Tn=12+14+18+...+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1，
即有Tn=2−n+22n．
16.8640； 504．
17.(1)依题意，得：f′(x)=3x2−6x+2，∴f″(x)=6x−6．
由f″(x)=0，即6x−6=0.∴x=1，又f(1)=2，
∴f(x)=x3−3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2)．
(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2)．
而f(1+x)+f(1−x)=(1+x)3−3(1+x)2+2(1+x)+2+(1−x)3−3(1−x)2+2(1−x)+2
=2+6x2−6−6x2+4+4=4=2f(1)，
由定义(2)知：f(x)=x3−3x2+2x+2关于点(1,2)对称．
(3)一般地，三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”是(−b3a,f(−b3a))，它就是f(x)的对称中心．
(或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．)
18.解：(1)因为CC1⊥平面ABC，CA，CB⊂平面ABC，则CC1⊥CA，CC1⊥CB，∠ACB=90°，
以点C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为CC1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90°，
则A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，
则DA1=(2,0,1),DB=(0,2,−1)，
所以平面ABC的一个法向量为m=CC1=(0,0,2)，
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z)，
所以n⋅DA1=0n⋅DB=0，即2x+z=02y−z=0，令y=1，
故n=(−1,1,2)，
n⋅m=−1×0+1×0+2×2=4，|n|= (−1)2+12+22= 6，|m|=2，
所以cs〈n,m〉=n⋅m|n||m|=42× 6= 63，
平面A1BD与平面ABC夹角为锐角，
所以平面A1BD与平面ABC夹角的余弦值为|cs|= 63；
(2)假设存在点P，设CP=λCD=(0,0,λ)，BP=BC+CP=(0,−2,0)+(0,0,λ)=(0,−2,λ)，
设BP与平面A1BD所成的角为θ，θ∈[0,π2]，
由(1)知，平面A1BD的法向量为n=(−1,1,2)，
n⋅BP=−1×0+1×(−2)+2λ=0=2λ−2，
|n|= (−1)2+12+22= 6，|BP|= 02+(−2)2+λ2= 4+λ2，
所以cs=n⋅BP|n|⋅|BP|=2λ−2 4+λ2，
所以sinθ=|cs|=|2λ−2 4+λ2|= 36，
所以7λ2−16λ+4=0，解得λ=27或λ=2．
在线段CD上存在一点P，使BP与面A1BD所成角的正弦值为 36，
此时CP=27或CP=2．
19.解：(1)因为f(x)=ln(x−1)−a2x，
所以f′(x)=1x−1−a2=1−a2(x−1)x−1=−a2x+a2+1x−1，
当a=0时，f′(x)=1x−1，
所以在(0,1)上f′(x)0，f(x)单调递增，
当a≠0时，令f′(x)=0，得x=a2+1a2=1+1a2，
所以在(1,1+1a2)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1+1a2,+∞)上，f′(x)1，
f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，
所以在(1,2)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(2,+∞)上，f′(x)1，
ℎ′(x)=(−x+lnx−1)′⋅x−(−x+lnx−1)x2=2−lnxx2，
令ℎ′(x)=0，得x=e2，
所以在(1,e2)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
在(e2,+∞)上，ℎ′(x)