2024-2025学年广东省东莞市万江中学等三校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市万江中学等三校高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算正确的是( )
A. (lnx)′=1xB. (e−x)′=e−xC. (lg2x)′=1xln2D. (sinπ3)′=csπ3
2.3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是( )
A. 81B. 64C. 24D. 12
3.(x−1x)10的展开式中x4的系数是( )
A. −210B. −120C. 120D. 210
4.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=12k,k=1,2,3,⋯，则P(1f′(x)+1，f(0)=3，则不等式f(x)>2ex+1的解集为( )
A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=x3+x−2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x−1，则P点的坐标可以为( )
A. (1,0)B. (2,8)C. (−1,−4)D. (1,4)
10.下列说法正确的是( )
A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法
B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果
C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法
D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法
11.关于函数f(x)=2x+lnx，下列判断正确的是( )
A. x=2是f(x)的切线方程且平行于x轴
B. 函数y=f(x)−x有且只有1个零点
C. 存在正实数k，使得f(x)>kx成立
D. 对两个不相等的正实数x1，x2，若f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)>12+ln4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若An2=Cn+1n−1，则n!= ．
13.甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为 ．
14.已知α，β分别是函数f(x)=x+ex−xex和g(x)=x+lnx−xlnx的零点，且α>1，β>e，则1α+1β= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−3x2−24x+20．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[−1,5]上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在(ax−13x)n (a>0)的展开式中，_____．
(1)求n的值；
(2)若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．
17.(本小题15分)
记f″(x)=(f′(x))′，f′(x)为f(x)的导函数.若对∀x∈D，f″(x)>0，则称函数y=f(x)为D上的“凸函数”.已知函数f(x)=ex−13x3−ax2−1，a∈R．
(1)若函数f(x)为R上的凸函数，求a的取值范围；
(2)若函数y=f(x)在(1,+∞)上有极值，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首．
(1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率；
(2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx−x+2x．
(1)当a=3时，求f(x)的单调区间；
(2)①若f(x)≤2x−1恒成立，求a的值；
②求证：对任意正整数n(n≥2)，都有(1+122)(1+132)(1+142)⋅⋅⋅(1+1n2)f(4)=12+ln4，故D正确．
故选：ABD．
根据导数的几何意义可判断A；利用导数判断y=f(x)−x的单调性，结合f(1)−1>0，f(2)−20恒成立，
设g(x)=ex−2x−2a，
则g′(x)=ex−2，
则x>ln2时，g′(x)>0，函数g(x)为增函数，x0，
即φ(x)在(1,+∞)单调递增，
又φ(1)0，
即存在x0∈(1,2)使得φ(x0)=0，此时ex0(x0−1)−x02=0，
即ex0=x02x0−1，
即函数ℎ(x)在(1,x0)单调递减，在(x0,+∞)单调递增，
则ℎ(x)min=ℎ(x0)=ex0x0−x0=x0x0−1−x0=1+1x0−1−x0，
显然y=1+1x0−1−x0在(1,2)为减函数，
则1+1x0−1−x0>1+12−1−2=0，
即ℎ(x)>0，
即2a>0，
即a>0，
即a的取值范围为(0,+∞)．
(1)先阅读题意，然后结合导数求函数的单调区间及最值即可；
(2)函数y=f(x)在(1,+∞)上有极值，即方程ex−x2−2ax=0在(1,+∞)有变号根，即方程2a=exx−x在(1,+∞)有变号根，然后构造函数ℎ(x)=exx−x，x∈(1,+∞)，利用导数求函数的单调区间及最值即可得解．
本题考查了导数的综合应用，属中档题．
18.【答案】23；
分布列见解析．
【解析】(1)在我校歌咏操比赛中，甲班、乙班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首，
此时共有32=9种选法，
其中甲、乙两班选择不同的曲目共有A32=6种选法，
则甲、乙两班选择不同曲目的概率为P=69=23．
(2)因为这四个班级总共选取了X首曲目，
所以X的所有可能取值为1，2，3，
此时P(X=1)=C3134=127，
P(X=2)=C32(24−2)34=1427，
P(X=3)=C42A3334=49，
则X的分布列为：
由题意可得从A，B，C三首不同曲目中任选一首的选法，甲、乙两班选择不同的曲目的概率；
(2)由题意可得的可能取值为1，2，3，利用概率公式求得分布列．
本题考查离散型随机变量的分布列，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)f′(x)=3x−1−2x2=−x2−3x+2x2=−(x−1)(x−2)x2
令f′(x)=0得x=1或x=2，
x∈(0,1)时，f′(x)0；x∈(2,+∞)时，f′(x)0)其中ℎ(1)=0，
ℎ′(x)=ax−1=a−xx，
当a≤0时，ℎ′(x)ℎ(1)=0，不符合题意；
当a>0时，令ℎ′(x)=0，得x=a，
x∈(0,a)时，ℎ′(x)>0，x∈(a,+∞)时，ℎ′(x)0)，φ′(a)=lna．
令φ′(a)=0得a=1，
∴a∈(0,1)时 φ′(a)0，
φ(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
φ(a)=alna−a+1≥φ(1)=0，即ℎ(a)≥0，∴ℎ(a)=0．
又ℎ(1)=0，故a=1
②证明：由①可知：lnx≤x−1，(当且仅当x=1时等号成立)．
令x=1+1n2，则 ln(1+1n2)