2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市华中师大龙岗附中高一（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，设i是虚数单位，则复数1−i20242+i的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b= 3，A=30°，则B=( )
A. 60°或120°B. 60°C. 120°D. 30°或150°
3.如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点.设CA=a，CB=b，则EA=( )
A. 23a−16b
B. 23a+16b
C. 16a−23b
D. 16a+23b
4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是( )
A. AB=2
B. A′D′=2 2
C. 四边形ABCD的周长为4+2 2+2 3
D. 四边形ABCD的面积为6 2
5.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=5，AB=5，BC=12，AC=13，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是( )
A. 16πB. 24πC. 25πD. 36π
6.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(体积为V).固定容器底面一边BC于地面上，BC=1，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是( )
A. 水面EFGH所在四边形的面积不是定值
B. 没有水的部分始终呈棱柱形
C. 棱A1D1一定与平面EFGH平行
D. 当容器倾斜如图所示时，BE⋅BF=V(定值)
7.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π
8.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2+c2−b2=3,2sinBsin(C+π3)= 3sinA，若P为△ABC的费马点，则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=( )
A. −1B. −2C. −3D. −32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. z⋅z−=|z|2，z∈C
B. i2024=−1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
10.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3(acsC+ccsA)=2bsinB，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1，DA=3，下列说法中，正确的命题是( )
A. △ABC的内角B=π3
B. △ABC的内角C=π3
C. 四边形ABCD面积的最大值为5 32+3
D. 四边形ABCD面积无最大值
11.如图，AC为正圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于AC的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥SO的侧面积为4 2π
B. 三棱锥S−ABC体积的最大值为83
C. ∠SAB的取值范围是(π4,π3)
D. 三棱锥S−ABC体积最大时，其内切球半径为4−2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a，b满足|a|= 32，|b|=1，a⊥(a−b)，|2a+b|= ．
13.如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处(即MD=400)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC= ______m.
14.如图在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1中点，P在侧面ADD1A1上(包括边界)，且满足三棱锥P−BEF的体积等于9，则PC1的长度的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a+2i(a∈R)，且z(2−i)是纯虚数．
(Ⅰ)求复数z；
(Ⅱ)若复数(z−mi)2(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcsC=2a−c．
(1)求角B；
(2)如图，若△ABC外接圆半径为2 63，D为AC的中点，且BD=2，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，
(1)求λ+μ的值；
(2)若F为线段BE上的动点，G为AF中点，求AF⋅DG的最小值．
18.(本小题17分)
已知长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=3，AA1>BC，其外接球的表面积为29π，平面A1C1B截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD−A1C1D1，其体积为20．
(1)证明：平面A1C1B/​/平面ACD1；
(2)求棱AA1的长；
(3)求几何体ABCD−A1C1D1的表面积．
19.(本小题17分)
“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ//OA．
(1)求扇形空地AOB的周长和面积；
(2)当OQ=50米时，求PQ的长；
(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ的面积尽可能的大.设∠AOP=θ，求△OPQ面积的最大值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意知，1−i20242+i=i−12+i=(2−i)(i−1)(2−i)(2+i)=−1+3i5=−15+35i，
其共轭复数为−15−35i，
所以在复平面内对应的点为(−15,−35)，位于第三象限．
故选：C．
由1−i20242+i=i−12+i，得−15+35i，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵a=1，b= 3，A=30°，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：sinB=b⋅sinAa= 3×121= 32，
∵b>a
∴∠B=60°或120°
故选：A．
根据题目中的条件，利用正弦定理可直接求出角B的正弦值，依据边的关系可求角的大小．
本题考查的知识点：正弦定理的应用，三角形解的情况，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，AD=13AB，且E是CD的中点，
所以EA=−AE=−12(AC+AD)=12CA−12AD
=12CA−16AB=12CA−16(CB−CA)=23a−16b．
故选：A．
根据向量的线性运算即可求得答案．
本题考查平面向量的线性运算和应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：如图过D′作DE⊥O′B′，
由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，
即A′D′= 2A′E=12×(4−2)× 2= 2，即B错误；
还原平面图为下图，
即AB=4=2CD,AD=2 2，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=2 3，
故四边形ABCD的周长为：4+2+2 2+2 3=6+2 2+2 3，即C错误；
四边形ABCD的面积为：12×(4+2)×2 2=6 2，即D正确．
故选：D．
根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：因为AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，所以三角形ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC=12(5+12+13)r=12×5×12,r=2，
2r=4