黑龙江省牡丹江地区共同体2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省牡丹江地区共同体2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知等比数列中，，，则（ ）
A. 48B. 15C. 3D. 63
【答案】A
【解析】由题意，，
所以.
故选：A.
2. 若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由数列为等差数列，
则，且，
即，，
所以当时，取最小值，
即数列的最小项为，
故选：B.
3. 若，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，所以.
故选：A.
4. 已知椭圆右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记椭圆的左焦点为，连接，
又点是线段的中点，为的中点，所以，
又，所以，
在椭圆中，，
又点是上的一点，所以，所以．
故选：A．
5. 抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设抛物线上的点到其准线的距离为，点到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，则，
其最小值为焦点到直线的距离，距离，
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故选：D.
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，得k最小，
此时设，故，解得或（舍去），
即．
故选：C.
7. 已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则（ ）
A. 2023B. 2024C. 4046D. 4048
【答案】D
【解析】令数列的公比为，，
因为，
所以当时，，即，
当时，，即，解得（舍去），
所以，即，
因为数列中的整数项组成新的数列，
所以，此时，即，
可得.
故选：D.
8. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为4
【答案】C
【解析】∵双曲线，则焦点在轴，则椭圆中，
∵，∴，即，即，故A选项错误；
由正弦定理可知在中，∴，
∵，∴，
由椭圆和双曲线的定义可知：，
解得，
∴，
即，∴，
∴，B选项错误；
∵，∴，即，
∴，C选项正确；
当且仅当，即时取等号，所以最小值为，D选项错误.

故选：C.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】AD
【解析】由题意，，由等比数列通项公式可得，
由于等比数列每一项都不是，故，
即，解得或.
故选：AD.
10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A.
B. 的最大面积为
C. 存在点P，使得
D. 的周长最大值是
【答案】ABD
【解析】对A，由题知，，
则，
设Px0,y0，，
则，A正确；
对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，
最大值为，B正确；
对C，，
则，C错误；
对D，由椭圆定义可知，，
所以，
又，
所以，
当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
11. 已知数列满足：，，，数列的前项的积为，记，则（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. 当为奇数时，D. 当为偶数时，
【答案】ACD
【解析】显然，．因为，
所以，
又，所以，即当时，．显然，
对于A，∵，∴，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故A正确；
对于B，由选项A知， ，所以，，两式相除得，故B错误；
对于C，当为奇数时，
，
所以有，故C正确；
对于D，当为偶数时，
，
所以有，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】由题可得，当时，，
即曲线在点处的切线斜率，所以所求切线方程为．
13. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前n项和为．给出下列结论：
①；
②是奇数；
③；
④．
则所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】对于①，由，且，可得斐波那契数列：，，，，，，，，故故①正确；
对于②：由斐波那契数列：，，，，，，，，，，，，
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且，所以奇数，故②正确；
对于③：因为，
相加可得：，故③错误；
对于④：因为斐波那契数列总满足，且，
所以，，
，
类似的有，，其中
累加得，，
故：，故④正确.
故答案为：①②④.
14. 已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由题意，要求的最大值，设，
则，即，
由，得，则，
则，，椭圆的右准线为，
则到右准线为的距离为，
根据椭圆的第二定义可知，，
即，
又，，
则
，
由于，则，
当且仅当，即时，等号成立，
则，
即的最大值为.
四、解答题（共77分）
15. 在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）因为数列满足，且，
当时，可得，
即，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由于，且，
则，
即，
设，
则，
两式相减得：，
所以，
所以.
16. 已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
（1）求的方程；
（2）过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
解：（1）由题知，，
由抛物线的定义知，，
，的方程为．
（2）由（1）知，设，，
直线的方程为，代入，整理得，
由题易知，，，
，
到直线的距离为，
，解得，
直线的方程为或．
17. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积.
（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，
所以，
因为，所以，又，平面，
所以平面；
（2）解：取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，
过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，，
所以
由，得，
由（1）知，所以，
解得，所以三棱台的体积.
18. 在数列中，已知，（）．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；
（3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：由，得，从而，
，
又，故数列为等比数列；
（2）解：由(1)得，，故，
所以，
，
令，则，
解得，，.
故使得的整数的最小值为10；
（3）解：假设存在正整数、、满足题意，则，
即，
即
两边同除以得，
(*)
由得，，；
所以为奇数，而、均为偶数，
故(*)式不能成立；
即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列.
19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
（1）求的标准方程；
（2）证明：；
（3）若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
（1）解：设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，
所以的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，

①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点A和点B在曲线E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直线斜率存在时，则可设方程为，Ax1,y1、Bx2,y2，
联立，
则即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
综上，.
（3）解：由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，
且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，

联立得，设Ax1,y1、Bx2,y2，
则，
，，
故，
因为P是中点，所以即，
同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，
，
Q到两渐近线的距离分别为，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.