黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体第四子共同体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体第四子共同体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解.
【详解】因为直线可化为，
则其斜率为，设其倾斜角为，
则，所以.
故选：B.
2. 已知，分别是平面法向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解
【详解】因为，分别是平面的法向量，且，
所以，即，解得
故选：B
3. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可
【详解】设向量与的夹角为，
因为，，且，
所以，得，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：A
4. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案.
【详解】由题设，
结合，得，
故选：C
5. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A 1B. 2C. 4D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】首先表示出双曲线的渐近线，即可得到方程，解得即可.
【详解】双曲线的渐近线为，
又是双曲线的一条渐近线，即，解得.
故选：A
6. 已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据准线方程，代入直线方程即可求解.
【详解】的准线方程为：，
当时，，解得，故交点为，
故选：D
7. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．
【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，则，
所以
设向量与的夹角为，
则，
所以直线和夹角的余弦值为，
故选：C．
8. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线方程，代入双曲线方程后应用韦达定理得，利用中点坐标得出的关系式，整理后求得离心率．
【详解】由已知直线的方程为，即，
设，
由得，
则即，
则，，
线段的中点是，则，，
整理得，即，
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知圆和圆，则（ ）
A. 相交B. 相离
C. 公共弦所在的方程式D. 公共弦长是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A，B选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定位置关系；C选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程；D选项，利用C选项的结果，利用点到直线距离公式求出圆心到的距离，进而利用垂径定理求出公共弦长.
【详解】圆即，圆心，半径，
圆即，圆心，半径，
圆心距，又因为，，
所以，所以两圆相交，故A正确，B错误；
两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C正确；
圆心到的距离为，
由垂径定理得：两圆的公共弦长为，D正确.
故选：ACD.
10. 已知椭圆 的右焦点与抛物线的焦点重合，则（ ）
A. 椭圆C的长轴为
B. 椭圆C的离心率为
C.
D. 抛物线上与焦点距离等于9的点的坐标为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，根据条件得到，从而求出长轴，即可判断A；由可得，求出离心率即可判断B，求出椭圆右焦点坐标，从而求得，判断C；利用抛物线的焦半径定义即可判断D.
【详解】椭圆 ，则 ，
所以长轴，则 ，故A错误，B正确；
因为的左右焦点分别为，
由题知，抛物线的焦点，
所以，得到，故C正确，
所以抛物线的标准方程为，
设抛物线上与焦点距离等于9的点的坐标为，
由抛物线的定义可得：，则，代入抛物线方程可得，
则， 故D正确；
故选：BCD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（ ）

A. 点B到直线的距离为
B. 直线CF到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．
【详解】在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，
则点到直线的距离为：
，故A正确；
,0,，,1,，,1,，,2,，
,,，,1,，,2,，,1,，
设平面的法向量,,，
则，取，得2,，
由于分别为的中点，所以 且，
因此四边形为平行四边形，故,
又平面, 平面,所以平面，
直线到平面的距离为，故B正确；
设直线与平面所成角为，则，故C错误；
,2,，,,，
设直线与直线所成角为，则，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 两平行直线：与：之间的距离是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
13. 若，且，则实数______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可.
【详解】，
,
,
,即，解得：.
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
14. 如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．
【答案】4.5##
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入，得，所以．
设，代入，得．
所以拱桥到水面的距离为．
故答案为：4.5.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知直线l：，点．
（1）求过点A且与l垂直的直线方程；
（2）求点A关于直线l的对称点的坐标；
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)利用垂直的条件求出所求方程的直线斜率，再利用点斜式方程求解即得；
(2)设出点的坐标，根据题设中的对称条件列出方程组求解即得.
【详解】(1)依题意，直线l的斜率为1，则与l垂直的直线斜率为-1，于是得：，化简得：，
所以过点A且与l垂直的直线方程是；
(2)设，显然点A与的中点必在直线l上，且直线斜率为-1，
因此，，即，解得，则点，
所以点A关于直线l的对称点的坐标是.
16. 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求

【答案】
【解析】
【分析】由双曲线方程求出右焦点，进而得到直线方程，直曲联立，结合距离公式计算即可.
【详解】双曲线方程可化为，
所以，故，
所以直线的方程为，设，，
由得，，
所以，，
所以.
17. 已知向量，且.
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值．
【答案】（1）
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；
（2）由及已知条件求得，即可求模；
（3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
【小问1详解】
因为，.
得，所以
由，可得，
因为，所以向量与的夹角为.
【小问2详解】
，
故4.
【小问3详解】
由向量与互相垂直，得，
，整理得，解得.
18. 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）先利用线面角求出的长度，然后利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
因为是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为正方形，平面，平面，
所以两两垂直，
以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
因为平面，所以 即为与平面所成角，
因为，所以，
又，
所以，
所以，，，
设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面的夹角为，
则，令得
，令得
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）18.
【解析】
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．