中考数学压轴题专项训练专题专题16 转化思想在两种题型中的应用 学生版+教师版

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通用的解题思路：
转化思想方法包含三个基本要素:
1、把什么东西转化，即转化的对象;
2、转化到何处去，即转化的目标;
3、如何进行转化，即转化的方法。
转化思想方法应遵循以下五条原则:
1、熟悉化原则:将陌生的问题转化成熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决;
2、简单化原则:将复杂问题转化成简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据:3、和谐化原则:转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律:4、直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;5、正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决或证明的可能性。
题型一：圆中的转化思想
1．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系： ；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点，利用勾股定理计算出，再利用第3小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出．
【解答】解：（1），，
理由如下：如图1所示：
和都是等腰三角形，
，，
又，
，
，
，
，
，
；
（2），，
理由如下：如图2所示：
证明：，
，
即，
又和都是等腰三角形，
，，
，
，
，，
，
；
（3），
理由如下：如图3所示：
和都是等腰三角形，
，，，
，
即：，
，
，
，，，
，
，
；
（4）如图4所示：
连接，以为直径作圆，
由题意，取满足条件的点，，则．，
，
，
连接，作于点，在上截取，
，，
，
，，
，
由（3）可得：，
，
，
同理可得：，
故的面积为：或．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
2．（2024•介休市模拟）阅读与思考
如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：（1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
．数形结合
．统计思想
．分类讨论
．转化思想
（2）选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标．
（3）直接写出“情况二”中的坐标 ；
（4）请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）．
【分析】（1）根据题意即可解答．
（2）选几何法，先证三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
（3）根据一线三等角的模型得出三角形相似，然后用相似三角形的性质即可解答，在求解过程中依据的定理是相似三角形的对应边成比例．
【解答】解：（1）上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是数形结合和转化思想．
故选：．
（2）当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，
，
，
又，
，
△，
，，，，
，解得，
的坐标为．
（3）过作轴交轴于点，如图：
则，
当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，
，
，
．
，
△，
，，，，
，解得，
的坐标为．
（3）当为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点．
，，
与（2）同理可得△△，△△，
，，
设的坐标为，的坐标为，
则，，，；，，，，
，，
解得，或（舍去），
的坐标为，的坐标为，
在求解过程中依据的定理是相似三角形的对应边成比例．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一线三垂直模型等，构造构造相似三角形是解题关键．
3．（2023•吴川市二模）已知：的直径，是的中点，是上的一个动点（不与点、、重合），射线交射线于点．
（1）如图1，当时，求线段的长；
（2）如图2，当点在上运动时，连接、，中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；
（3）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．
【分析】（1）连接、、，由勾股定理求出，由求出，则．
（2）不变，连接，则，由圆内接四边形的对角互补得．
（3）①当点在的延长线上时，证明是等边三角形，求出，由勾股定理求出，分别求出两个三角形的面积作比，即可得到结果．②当点在上时，设，证明，用表示出，由，列出关于的方程并求出，再求出两个三角形的面积即可得结果．③当点在上时，，长度没变，长度变了，依据②中的数值可求得结果．
【解答】（1）解：如图1，连接、、，
是的中点，是半径，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
（2）不变，．
如图2，连接，
是的中点，
，
是的直径，
，
，
，
．
（3）解：①如图3，当 点在的延长线上时，，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
②如图4，当点在上时，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
由得，
，
，
，
，，
，
③如图5，当点在上时，
，长度与②中相同，，
，
综上得，与面积的比值为：或或．
【点评】本题考查了圆中垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形相似，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
4．（2023•微山县二模）如图，中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，以为半径的圆经过点，交于点，交于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，利用及角平分线得即可；
（2）连接，先利用计算、，然后证明求，再证明即可求．
【解答】（1）证明：连接，
是半径
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即：，
解得：．
【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定及性质，熟记性质定理并能灵活运用是解决本题的关键．
5．（2023•花都区一模）如图，是的外接圆，直径，，平分交于点．
（1）尺规作图：在的延长线上取一点，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中：
①证明：是的切线；
②求的值．
【分析】（1）以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点即可．
（2）①先证，再由是半径即可得结论．②先证，得出的长，再证即可．
【解答】（1）如图1，以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点，
则点即为所求．
（2）①证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
②解：如图2，过点作，垂足为，
，平分，
，
，
，
．
，，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，把所学知识融会贯通，灵活运用是解题的关键．
6．（2023•阿城区模拟）已知：、是的直径，弦，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作交于点，垂足为，求证；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长与的延长线交于点，连接，若，，求的长．
【分析】（1）利用切线的性质和可证，根据圆周角定理可得，即可得证；
（2）利用垂径定理可得，，证明，得出，即可得证；
（3）连接，过作于，延长交的延长线于点，设，，利用等角对等边可证，证明，可得，进而可证为正方形，利用等角的正切值相等可得，证明是等腰直角三角形，可得出，根据，，可求出，，，根据，即可求出．
【解答】（1）证明：是切线，
，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
，
，
，，
，
；
（3）解：连接，过作于，延长交的延长线于点，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，，，，
，，
，，
，，，
，
．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、正方形形的判定与性质．
7．（2023•松江区二模）如图1，是半圆的直径，是半圆上一点，点与点关于直线对称，射线交半圆于点，弦交于点、交于点．
（1）如图2，恰好落在半圆上，求证：；
（2）如果，求的值：
（3）如果，，求的长．
【分析】（1）连接，由点与点关于直线对称得到，证出是等边三角形，得出，即可得结论．
（2）设的半径为，作于，则，求出，，，得到，再求出，得到，证出，得到，作比即可．
（3）①当点在内部时，过点作于，于，由，得到，又，从而求得．②当点在外部时，同样方法求得的长．
【解答】（1）证明：如图2，连接，
点与点关于直线对称，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
（2）解：如图3，设的半径为，
则，
作于，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
点与点关于直线对称，
，
由对称性得，，
，
，
．
（3）解：①如图4，当点在内部时，
，
由对称性知，
过点作于，于，
，
，
，
，
．
②如图5，当点在外部时，
过点作于，于，
则，
，
，
又，
，
，
．
综上得，或．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
8．（2023•碑林区校级模拟）如图①，已知线段与直线，过、两点，作使其与直线相切，切点为，易证，可知点对线段的视角最大．
问题提出
（1）如图②，已知的外接圆为，与相切于点，交的延长线于点．
①请判断与的大小关系，并说明理由．
②若，，求的长．
问题解决
（2）如图③，一大型游乐场入口设在道路边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置，并架设斜杆，在斜杆的中点处安装一摄像头，对入口实施监控（其中点、、、、、、在同一平面内），已知米，米，调研发现，当最大时监控效果最好，请问在射线上是否存在一点，使得达到最大？若存在，请确定点在上的位置及斜杆的长度；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①作直径，连接，则，与相切，得，再根据圆周角定理即可得结果．②证明，得，代入数值可得结果．
（2）取的中点，过点作的平行线，经过，作与相切于点，此时最大，由求出，由勾股定理求出，，，再求出，最终得到，的长度．
【解答】（1）解：①，理由如下：
如图②，连接并延长至圆上一点，连接，
则，
为圆的直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
．
②，，
，
，
，，
，
，
．
（2）解：存在一点，使得达到最大．
如图③，取的中点，过点作的平行线，
经过，作与相切于点，
由题意知，此时最大．
，是中点，
，，
作直径，连接，
则，，
，
是的切线，是切点，
，
，
，
又，
，
，
，
．
过点作于，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
．
故点在上距离点处，斜杆的长度为．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形相似，圆的张角等知识，属于圆的综合题，恰当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题关键．
9．（2021•滨城区一模）如图，在中，，，点在上，以为直径的经过点．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．
【分析】（1）①连接，根据圆周角定理推出，并根据平行线的判定得出，从而得到即可证明是的切线；
②连接，，根据同角的余角相等推出，并得到，再根据相似三角形的性质即可证明；
（2）连接、、，根据题意由圆心角定理推出和是等边三角形，并得出相关角的大小即边之间的关系，进而根据全等三角形的判定得到，将阴影部分的面积转化为扇形的面积进行求解即可．
【解答】（1）①证明：如图1，
连接，
，
，
（圆周角定理），
，
，
根据题意可知，
，
是的切线．
②如图2，
连接，，
为直径，，
，，
由（1）可知，
，
在和中，
，
，
，
故．
（2）如图3，
连接、、，和交于点，
则，
根据题意点是劣弧的中点，且，
，
和是等边三角形，
，
，
由（1）可知，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆的综合运用，解题的关键是证明从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，通常要结合圆周角定理及圆心角定理求解各角、各边之间的关系．
10．（2022•雁塔区校级四模）（1）如图①，在中，，，，求外接圆的半径；
（2）如图②，是一个半径为200米的圆形广场，弦是广场上一个长为米的纳凉演绎舞台，现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市，并在舞台和集市之间修建两个休闲长廊和，规划长廊、舞台、集市围成四边形为活动区域，那么能否在优弧上确定两点、，使得长廊最长？若能，请求出的最大值，并计算此时的度数及四边形的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）作出外接圆，连接，，交于点，利用等腰三角形的性质和圆周角定理，直角三角形的边角关系解答即可；
（2）连接，，，，过点分别作，，，利用勾股定理求得，利用，可知当最大时，取最大值，利用三角形的面积公式与正弦的取值范围即可得出结论．
【解答】解：（1）设外接圆为，连接，，交于点，如图，
，
，
，，
，，
，
为等边三角形．
，
在中，
，
；
（2）在优弧上确定两点、，使得长廊最长．
连接，，，，过点分别作，，，垂足分别为，，，如图，
的半径为200米，米，
米，
，
，
．
米，
为等边三角形，
，
．
．
，，
．
，
，
．
在和中，
，
．
．
，，
，，
．
，
，
，
．
，
当最大时，取最大值，
，
当，，最大，即最大，最大值为20000，
当时，的值最大．
在优弧上确定两点、，使得长廊最长；
此时，如图，
，，
．
四边形的面积
米．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的拍大片与性质，函数的极值，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
11．（2022•青秀区校级一模）如图，是的直径，是弦，点在圆外，于点，交于点，连接、、，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
【分析】（1）由证明即可得到结果；
（2）证明即即可得证；
（3）把转化为，设，用表示出半径，再由的面积比等于相似比平方可得到答案．
【解答】解：（1）证明：，
又，
，
于点，
，
，
，即，
，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
；
（3）为直径，
，
，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
于点，
，
，
由（2）知，
，
而，
，
，
设，则，
的面积为，
而的面积为，
．
【点评】本题考查圆的切线、相似三角形判定及性质，难度较大，解题的关键是将转化为．
题型二：函数中的转化思想
1．（2021•南岸区校级模拟）初中阶段的函数学习中，我们经理了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下我们研究函数性质及应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）下表是与的几组值，请在表格中的空白处填上恰当的数字；
（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象；
（3）观察函数的图象，请写出函数的一条性质： ．
（4）若方程为常数）有三个实数解，则的取值范围为 ．
【分析】（1）利用函数解析式求值即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据图象解答问题即可；
（4）令，当或时，，将方程化为，当△时，解得或，此时函数与有两个交点，与也有两个交点，当时，，此时函数与有两个交点时，则函数与有三个交点，由此可求解．
【解答】解：（1）时，；
时，，
故答案为：，2；
（2）图象如图所示：
（3）当时，函数有最小值，没有最大值；
故答案为：当时，函数有最小值，没有最大值；
（4）如图：
由，可知，
令，
当或时，，
，
当△时，，
解得或，
此时函数与有两个交点，
函数与也有两个交点，
当时，，此时函数与有两个交点，
时，函数与有三个交点，
方程为常数）有三个实数解，则的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质，会用描点法画函数图象，数形结合解题是关键．
2．（2021•望奎县模拟）自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：．
解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当，或时函数图象位于轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：，或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 ① 和 ．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：．
【分析】（1）根据题意容易得出结论；
（2）由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，即可得出结果；
（3）设，解方程得出抛物线与轴的交点坐标，画出二次函数，的大致图象，由图象可知：当，或时函数图象位于轴上方，此时，即，即可得出结果．
【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；
故答案为：①，③；
（2）由图象可知：当时函数图象位于轴下方，
此时，即，
一元二次不等式的解集为：；
故答案为：．
（3）设，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为和．
画出二次函数的大致图象（如图所示），
由图象可知：当，或时函数图象位于轴上方，
此时，即，
一元二次不等式的解集为：，或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键．
3．（2024•全椒县一模）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．
（1）求点和点的坐标；
（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．
【分析】（1）将函数化作顶点式可得出点的坐标，联立与可得出点的坐标；
（2）分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可；
（3）如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线，
，
当时，有最小值，
．
直线与抛物线在第一象限的交点为点，
联立，
解得或（舍去），
．
故点和点的坐标分别为和；
（2）设直线的解析式为：，
则将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为：．
①当点在直线的下方时，过点作轴，交轴于点，延长，交于，
，
，即，，
，
，
，
．
当时，，得：，
，
则，
，
易知直线的解析式为：，
联立：，
解得或（舍去），
；
②当点在直线的上方时，
，
，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
联立：，解得：或（舍去），
．
综上，当点的坐标为或时，使得；
（3）点与点关于对称轴对称，
，
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
设，则，
，
，，
，
当时，的最大值为．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
4．（2023•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，，，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标；
（3）若为轴上的一个动点，连接，直接写出的最小值；
（4）若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接，，设点的纵坐标为，当不小于时，求的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，得到，即可求解；
（3）过点作直线直线，再，直线，得四边形是矩形，化简得，所以当，，三点共线时，的值最小，最后求出三点共线时的最小值的长度即可；
（4）以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点，，当点在圆上时，则，当点在圆内时，，当点在圆外时，，进而求解．
【解答】解：（1）将，，，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为．
（2）轴，轴，
，
，
，
设，则，
由，，得，
，
解得：，
，
又由得，
，
，；
（3）过点作直线直线，
再，直线，
则四边形是矩形，
，
，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，
此时，直线，
又作则，
直线，直线，直线，
四边形是矩形，
，
，
的值最小值为3．
（4），，
则，
，
作的平分线，交轴于，
则，
，
以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点，，
当点在圆上时，则，
当点在圆内时，，
当点在圆外时，，
过作垂直于对称轴，
在中，，，则，
在△中，，
，，
．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本性质、三角形相似、解直角三角形等，数形结合及线段的转化是本题解题的关键．
平面直角坐标系与直角三角形
年月日星期三
原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论．口诀：“两线一圆”
作图：举例如下：已知、，在直线上求点，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论：
情况一：当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，则交点即为所求点．如图①，有一个点；
情况二：当为直角顶点时，过点作的垂线交直线于点，则交点即为所求点．如图②，有一个点；
情况三：当为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点．如图③，有，两个点；
方法：一、几何法：构造“型”或“一线三垂直”相似；
二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；
三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点．
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