中考数学压轴题专项训练专题专题15 分类讨论思想在五种题型中的应用 学生版+教师版

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通用的解题思路：
题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论
1. 假设结论成立；
2. 找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：
① 当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
② 当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.
3. 计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解
题型二、直角三角形的存在问题分类讨论
1. 设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（1，f），△BCF三边长为：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；
2. 找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论：
① 当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC），分别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有交点时，此交点即为符合条件的点；
② 当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点.
3. 计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.
题型三、不等式（组）中的分类讨论思想
分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在求其解集时要对字母进行分类讨论。
对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。
题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想
在函数问题中，分类有两种情况：一种是对概念进行分类，一 种是分情况讨论问题，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进行分类，出现“重"或“漏"的现象，从而容易导致错误的发生
题型五、圆中的分类讨论思想
由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。
题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论
1．（2023•广安）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
2．（2023•澄城县一模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023•婺城区模拟）在矩形中，，，是上的一点，且，是直线上一点，射线交直线于点，交直线于点，连结、，直线交直线于点．
（1）①当点为中点时，求与的长；
②求的值．
（2）若为等腰三角形时，求满足条件的的长．
4．（2023•濮阳县模拟）在等腰直角三角形中，，，点为直线上一个动点，绕点将射线逆时针旋转，交直线于点．
在图1中，将绕点逆时针旋转得到，连接，
，，
，
又，，
．
请阅读上述过程，并完成以下问题：
（1）得出的依据是 （填序号）．
①
②
③
④
（2）在以上条件下，如图2，当点在线段的延长线上时，求证：．
（3）在等边三角形中，，点为射线上一个动点，将射线绕点逆时针旋转交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当为直角三角形时，请直接写出的长．
5．（2023•武侯区校级模拟）如图，在矩形中，，将线段绕点逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点．
尝试初探
（1）当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由；
深入探究
（2）若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值；
拓展延伸
（3）连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
6．（2023•虹口区一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，满足．点是延长线上一点，且．
（1）当点是的中点时，求的值；
（2）如果，求的值；
（3）如果是等腰三角形，求的长．
7．（2023•文成县一模）如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连结．
（1）若，求证：．
（2）若，．
①求的长．
②连结，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
（3）连结，若的延长线经过点，且，求的值．
8．（2023•涪城区模拟）如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，．
（1）求证：．
（2）若，．
①当，求的长．
②当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长．
（3）若，且，，在一条直线上，则与的比值为 ．
9．（2023•河南模拟）如图所示，在中，，点为射线上一动点，作，过点作，交于点，连接．（点、在的两侧）
【问题发现】
（1）如图1所示，若时，、的数量关系为 ，直线、的夹角为 ；
【类比探究】
（2）如图2所示，若时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
题型二、直角三角形的存在问题分类讨论
1．（2022•大连模拟）如图，中，，，，点在边上，过点作的垂线与边或相交于点，将点绕点顺时针旋转得点，过点作的垂线与边或相交于点．设的长为，四边形的面积为．
（1）求的长；
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
2．（2022•莲池区校级二模）如图，中，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，与垂直的动直线从开始．以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）当点在上运动时，过点作于，
①当时，求证：；
②设的面积为，用含的代数式表示，并求当为何值时，有最大值；
（2）当直线等分的面积时求的值，并判断此时点落在的哪条边上；
（3）直接写出时的值．
3．（2022•济南二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点是轴上一动点，求最大时的值；
（3）连接，在反比例函数图象上是否存在点，平面内是否存在点，使得四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022•海口模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为秒，试求与的函数关系，并求的最大值；
（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2023•乳山市二模）过四边形的顶点作射线，为射线上一点，连接．将绕点顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且．无论点在何处，总有，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．
题型三、不等式（组）中的分类讨论思想
1．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
题中的团队人数均不少于10人．
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
2．（2021•商河县校级模拟）阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②
解不等式组①得：．解不等式组②得．
不等式的解集为或．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式的解集．
（2）求不等式的解集．
3．（2024•江门校级一模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：，
可化为，．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
（1）一元二次不等式的解集为 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式．
4．（2022•泰安三模）某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮料销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．
（1）求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价；
（2）五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的；不多于桔子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？
题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想
1．（2024•钟楼区校级模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）说出图中函数、的图象交点表示的实际意义；
（2）求、关于的函数解析式；
（3）①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择 品牌共享电动车更省钱？（填“”或“”
②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？
2．（2023•西华县三模）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及轴分别交于点、．设．
①点在抛物线上运动，若点恰为线段 的中点，求此时的值；
②当点在抛物线上运动时，是否存在一点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023•池州三模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
（1）若，，求抛物线的解析式；
（2）已知点，在该抛物线上，且．
①比较，，0的大小，并说明理由；
②将线段沿水平方向平移得到线段，若线段与抛物线有交点，直接写出点的横坐标的取值范围．
4．（2023•河北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于、两点点在点的右侧）．
（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；
（2）若点到轴的距离为5，求的值；
（3）若线段的长小于等于4，求的取值范围．
5．（2023•盐城二模）已知点，，，在二次函数的图象上，且满足．
（1）如图，若二次函数的图象经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，此时二次函数图象的顶点为点，求的正切值；
③在、之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为，请直接写出此时点、的坐标；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，点，在对称轴的异侧，则的取值范围为 ．
6．（2023•锦州）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．（2024•肇东市模拟）综合与实践
如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．．点在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；
（3）当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标．
8．（2023•扶余市二模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）如图，把原抛物线轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线轴上方的部分记作图形，在图形中，回答：
①点，之间的函数图象所对应的函数解析式为 ；
②当时，求的取值范围；
③当，且时，若最高点与最低点的纵坐标的差为，直接写出的值．
9．（2024•南丹县一模）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，
若，求的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标．
10．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，过点作直线垂直于轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，，，为图形上任意两点．
①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；
②若对于，，都有，求的取值范围；
（3）当图象与直线恰好有3个公共点时，直接写出的取值范围．
题型五、圆中的分类讨论思想
1．（2023•花都区一模）如图1，已知，在射线、上分别截取点、，使．
（1）求证：；
（2）如图2，以为直径在的上方作一个半圆，点为半圆上的一个动点，连接交于点．
①当时，求的长．
②在线段上取一点，连接交于点，若，当点在半圆上从点运动到点时，求点经过的路径长．
2．（2023•裕华区二模）如图1，平行四边形中，，，，点在延长线上且，为半圆的直径且，，如图2，点从点处沿方向运动，带动半圆向左平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆立即绕点逆时针旋转，每秒转动，点落在直线上时，停止运动，运动时间为秒．
（1）如图1， ；
（2）如图2，当半圆与边相切于点，求的长；
（3）如图3，当半圆过点，与边交于点，
①求平移和旋转过程中扫过的面积；
②求的长；
（4）直接写出半圆与平行四边形的边相切时的值．（参考数据：，
3．（2022•顺平县二模）如图1，将半径为2的剪掉一个的扇形之后，得到扇形，将扇形放置在数轴上，使点与原点重合且垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点落在数轴上时停止滚动．记优弧与数轴的切点为点．过点作直线平行于数轴，当与弧有两个公共点时，记另一个公共点为点，将直线绕点顺时针旋转，得到直线，交数轴于点．
（1）当点落在数轴上时，其对应数轴上的实数为 ；
（2）当直线经过圆心时，线段的长度为 ；
（3）当与扇形所在圆相切于圆的左侧时，求弦的长及点对应数轴上的实数；
（4）直接写出整个运动过程中长度的最大值．
4．（2022•永嘉县三模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，以为直径构造圆，点在运动，点在上，交于点，且．
（1）求的长．
（2）求证：．
（3），交圆于另一点，连结．若为等腰三角形，求所有满足条件的点的坐标．
5．（2022•温州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为直径的与轴的正半轴交于点．点是劣弧上的一动点．
（1）求的值．
（2）当中有一边是的两倍时，求相应的长．
（3）如图2，以为边向上作等边，线段分别交和于点，．连结，．点在运动过程中，与存在一定的数量关系．
【探究】当点与点重合时，求的值；
【探究二】猜想：当点与点不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．
购票人数（人
每人门票价（元
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50
40