数学八年级上册（2024）14.3 角的平分线练习

这是一份数学八年级上册（2024）14.3 角的平分线练习，文件包含第14章第04讲角的平分线的性质4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固原卷版docx、第14章第04讲角的平分线的性质4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。

知识点01 角平分线的定义与性质
角平分线的定义：
角的内部把角分成两个 的角的射线这是个角的角平分线。
角平分线的性质：
性质1：平分角。
如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 。且他们都等于∠AOB的 。
性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 。
即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离为（ ）
A．18B．12C．15D．不能确定
【即学即练2】
2．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 ．
知识点02 角平分线的尺规作图
作已知角的角平分线：
步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。
步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。
步骤三：连接OP即为角平分线

步骤一 步骤二 步骤三
证明上图中的OP是角平分线：
连接MP，NP
由作图过程可知，OM ON，MP NP。
在△OMP与△ONP中

∴△OMP≌△ONP
∴∠MOP＝
∴OP是∠AOB的角平分线。
【即学即练1】
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
【即学即练2】
4．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
知识点03 角平分线的判定
角平分线的判定的内容：
角的内部到角两边距离相等的点一定在 上。
数学语言：
点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 上。
即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD
∴∠AOC＝∠BOC
【即学即练1】
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
知识点04 证明几何文字命题的一般步骤
证明几何文字命题的一般步骤：
根据命题明确命题中的 与 。
根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 与 。
经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。
【即学即练1】
6．证明：命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题．
题型01 利用角平分线的性质求线段长度
【典例1】如图所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
A．8cmB．4cmC．5cmD．不能定
【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【变式2】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，BD＝2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．3B．4C．5D．9
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10B．16C．8D．5
【变式4】如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型02 利用角平分线的性质求面积
【典例1】如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【变式1】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
【变式2】如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 cm2．
【变式3】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（ ）
A．25B．5.5C．7.5D．12.5
【变式4】如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝2AC．则S△ABD：S△ACD＝ ．
【变式5】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是10、15、20．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：2B．1：2：3C．2：3：4D．1：2：4
题型03 根据作图痕迹解决角平分线的问题
【典例1】如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（ ）
A．1.5B．3C．4D．5
【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF＝68°，射线EF，BD交于点G，∠FDG＝39°，则∠EGB＝（ ）
A．29°B．30°C．38°D．39°
【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB、AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧交点与点A作直线，与边BC交于点D．若AC＝8，BD＝3，则△ADC的面积是 ．
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝9，以B为圆心，BA为半径画弧交BC于D，分别以A，D为圆心，大于AD为半径画弧交于点E，连接BE交AC于F，∠BAC＝2∠AFB，则AF的长为（ ）
A．B．2C．3D．4
题型04 角平分线的判定
【典例1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF
求证：AD平分∠BAC．
【变式1】如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
【变式2】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，有∠BAD＝100°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE．求证：DE平分∠ADC．
题型04 角平分线在生活中的实际应用
【典例1】如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
【变式1】如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
【变式2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
1．如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点
B．△ABC三个内角的角平分线的交点
C．△ABC三角形三条边上的高的交点
D．△ABC三角形三条中线的交点
2．如图，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA，OC＝5，CD＝3，则点C到射线OB的距离是（ ）
A．5B．3C．2D．无法计算
3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．AD过点P，且与AB垂直，若AD＝12．则点P到BC的距离是（ ）
A．5B．C．6D．
5．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
6．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中∠C＝90°，BC＝800m，一个人从B处出发沿着BC行走了500m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1300mB．800mC．500mD．300m
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，若S△ACD＝12，则△ABC面积为（ ）
A．24B．28C．32D．48
8．如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为S1，△ACO的面积记为S2，△BCO的面积记为S3，关于S1，S2，S3之间的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＞S3D．S1•S2＝S3
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是 ．
12．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为 ．
14．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，点D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝6，若点Q是射线OB上一点，OQ＝5，则△ODQ的面积为 ．
如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB于E，PF⊥AC于F，
则BE+PF PB．
16．已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
（1）求证：点F在∠DAE的平分线上．
（2）若∠A＝50°，求∠BFC的大小．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°．
（1）若∠ABC与∠DCB的角平分线交于点O．求∠BOC的度数；
（2）若∠ABO＝2∠OBC，∠DCO＝2∠OCB，求∠BOC的度数．
18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
19．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
20．如图，点D是△ABC外角∠CBF的平分线与∠CAB的平分线的交点．
（1）如图①，若∠C＝88°，则∠D＝ 度；
（2）如图②，∠CBA的平分线与AD相交于点E，若∠BED＝∠D，求∠C的度数？
（3）如图③，在（2）的条件下，过E作AB的垂线分别交BC、AB于点M、N，MH平分∠CMN，交AC于点H．请判断MH与AD的位置关系，并说明理由．
课程标准
学习目标
①角的平分线的定义与性质
②角平分线的尺规作图
③角平分线的判定
④证明几何文字命题的一般步骤
1. 掌握角平分线的吃规作图步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。
2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。
3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。