山东省日照市2024-2025学年高一下学期期末校际联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省日照市2024-2025学年高一下学期期末校际联合考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各角中，与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的最小正周期为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（ ）
A．29.6mmB．46.3mmC．63.5mmD．82.2mm
8．如图，把画有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，折叠后A，B两点之间的距离为，则（ ）
A．B．1C．D．
9．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在上单调递减
D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数
二、多选题
10．在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．存在实数，使得与共线
11．在棱长为4的正方体中，已知E，F分别为线段的中点，点满足，则（ ）
A．当时，四棱锥外接球半径为3
B．当时，三棱锥的体积为
C．若，则点的轨迹长为
D．周长的最小值为
三、填空题
12．已知向量，若，则的值为 .
13．在中，，，，若D为BC边的中点，则 ．
14．关于的不等式在上恒成立，则 .
四、解答题
15．已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式和单调递增区间；
(2)把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为侧棱的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
17．已知的内解所对的边分别为，满足．
(1)求证：；
(2)若为上一点，且，求的面积的最大值．
18．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均为4，D，E分别为棱的中点，且平面ABC.
(1)求证：平面BDE；
(2)设为棱上一点（不包含端点），
①若为棱的中点（如图①），三棱柱被过G，B，D三点的平面所截，求截面的面积；
②求二面角的取值范围.
19．已知，且，定义的“区间长度”为，函数的定义域为.
(1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”；
(2)已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为.
（i）若，求的值；
（ii）求的最大值.
山东省日照市2024-2025学年高一下学期期末校际联合考试数学试卷参考答案
1．B
【详解】对于A，，所以与角终边不相同，故A错误；
对于B，，所以与角终边相同，故B正确；
对于C， ，所以与角终边不相同，故C错误；
对于D，，所以与角终边不相同，故D错误.
故选：B.
2．A
【详解】函数的最小正周期为.
故选：A.
3．D
【详解】由，可得，
所以.
故选：D.
4．C
【详解】对A选项：如图所示，

由图可知，若，则还有可能相交，
故A选项不正确；
对B选项：如图所示，
由图可知，若，则还有可能
故B选项不正确；
由线面垂直的性质定理可知，若，则成立，
故C选项正确；
对D选项：如图所示，
若，则还有可能，
故D选项不正确；
故选：C.
5．B
【详解】因为，所以，所以，
又因为，为单位向量，所以，所以，
又因为，所以.
故选：B.
6．A
【详解】因为，则，
所以，
因此
.
故选：A.
7．A
【详解】如图所示，cm，cm，，
过点作⊥于点，则，cm，
cm，
桶的深度为cm，
故雨水的高度为cm，由三角形相似知，cm，
故cm，
雨水的体积，
圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为，
故本次降雨的日降水量是cm，故为29.6mm.
故选：A
8．D
【详解】由函数的图象过点，可得，所以，
又因为，所以，所以，
又因为折叠后A，B两点之间的距离为，所以，
解得，所以，所以，所以，
所以.
故选：D.
9．AC
【详解】由图象可得，设函数的周小正周期为，
由图象可得，所以，
由，
故A选项正确；
因为，
所以，即
又，所以当，
所以函数，
令，即
令，
故函数的图象不关于点对称，故B选项不正确；
因为，所以，
由在单调递减，所以C选项正确；
的图像向左平移个单位后得到：
，
由的定义域为关于原点对称，
且，
所以的图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，
故D选项不正确；
故选：AC.
10．BCD
【详解】由题意可得：.
对于选项A：因为，所以不垂直，故A错误；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：因为，，
若与共线，则，解得，
所以当时，与共线，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【详解】对于A选项，当时，，
故，即，
所以点在线段的中点，连接相交于点，则为中点，
所以，由正方体性质可得平面，则平面，
设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线，
其中，所以球心在的延长线上，
设，则，
由勾股定理得，即，解得，故A正确；
对于B选项，当时，，
故，即，故点在线段上，
连接，与相交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，又平面，平面，
所以平面，所以三棱锥的体积，
所以，又，
所以，故三棱三棱锥的体积为，故B错误；
对于C选项，因为，又点在矩形及其内部，
点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形，
又平面，且，故，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆的一部分，
如图所示，其中，，
故，则，
则，则轨迹长为，故C正确.
对于D选项，点在矩形及其内部，取线段的中点，
由对称性知，，
此时三点共线，
又，所以，故C正确；
故选：ACD
12．/
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
13．/
【详解】由D为BC边的中点，则，
则
.
故答案为：
14．
【详解】，故当，
即时，，
当，即时，，
当或，即或时，，
要想不等式在上恒成立，
与零点相同，
且在上，在时，，
所以，，故，
故或，解得，
故，，
经验证，满足上，在时，，
.
故答案为：
15．(1)的单调递增区间为
(2)实数的取值范围
【详解】（1）
，，
因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令，
则，
所以的单调递增区间为；
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，
得到函数的图象，
再向左平移个单位得的图象.
令，，则，所以，
所以，与有两个交点，
作出，的图象如图所示，所以，
所以实数的取值范围.
16．(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，
在正方形中，为的中点，又为侧棱的中点，
所以在中，为的中位线，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为分别为侧棱的中点，所以为的中位线，
所以，且，
在是正方形中，，，
所以，且，
所以四边形为梯形，
又平面平面，且平面平面，
在是正方形中，，且平面
所以平面，又平面，
所以，所以，所以梯形为直角梯形；
又，为侧棱的中点，
所以，且，所以梯形的面积为:，
由平面，又平面，
所以，所以，
又，所以平面，即平面，
所以为四棱锥的高，且，
所以四棱锥的体积为：.
17．(1)证明见解析
(2)2
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即，
因为，，所以，
所以，所以或．
若，则；
若，则，舍去；
所以成立．
（2）在中，因为，，所以，
由正弦定理得，即，所以．

在中，由正弦定理得，
因为，所以．因为，
又，所以，
所以的面积．
又，所以，所以，
所以当，即时，的面积最大值为2．
18．(1)证明见解析
(2)①；②二面角的取值范围
【详解】（1）如图所示，连接，由题意可知平面，四边形是菱形，
平面，所以，又因为D为棱的中点，是正三角形，
所以，又，不面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在菱形中，有，
而D，E分别为棱的中点，则，所以，
因为，平面，所以平面；
（2）①取的中点，取的中点，连接，
则且，又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以且，因为分别为的中点，
所以且，所以，
所以过过G，B，D三点的截面即为四边形，
因为平面，平面，所以，
故截面为直角梯形，又底面是边长为4的等边三角形且，
所以，，
所以截面面积为；
②过作交于，连接，则，
因为平面，平面，所以，
故二面角的平面角即为，
若为棱上一点，且，
因为，
所以，
，
所以，
令，
，
由双勾函数的性质可得在上单调递减，
所以，所以，
所以，
故二面角的取值范围.
19．(1)解集的“区间长度”为；
(2)（i）或；（ii）的最大值为
【详解】（1）当时，，
由，可得，故或，
又函数的定义域为，所以.或，
所以解集的“区间长度”为；
（2）（i），，其中，
故不等式解集为或，
设的两个根为，其中，且，
同理，设的两个根为，其中，且，
所以，又，所以，
其中，即，
由诱导公式得，即，
又，解得或，故或，
所以
，
或
，所以或，
（ii）由（i）可得，即，
即，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，所以或，
由于，故，所以，
所以舍去，故，
所以，
因为，，所以，
由，可得，
当且仅当，，即时，等号成立，
所以，故的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
B
A
A
D
AC
BCD
题号
11









答案
ACD