山东省日照市2022-2023学年高一数学下学期期末校际联合考试试题（Word版附解析）

参照秘密级管理★启用前            试卷类型：A

2022级高一下学期期末校际联合考试

数学试题

2023.07

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦的和差角公式即可求解.

【详解】，

故选:C．

2. 在中，为钝角，则点（    ）

A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，得到为钝角，所以为锐角，可得，，即可求解.

【详解】因为中，为钝角，所以为锐角，可得，，

所以点第四象限.

故选：D．

3. 已知为线段上一点，且，若为直线外一点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量加法减法的三角形法则计算即可.

【详解】如图，

故选：B.

4. 我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解.

【详解】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为．

故选:C

5. 把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.

【详解】向左平移个单位得：

将横坐标缩短为原来的得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.

6. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦函数的单调性可知，当时，；在区间上只取得一次最大值，可得，列出不等式求解可得.

【详解】由于函数在上单调递增，

，，

且，

解得且，所以；

又因为在区间上只取得一次最大值，

即时，；

所以，解得；

综上知，的取值范围是．

故选：B．

7. 一个棱长为1分米的正方体形封闭容器中盛有升水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，则的一个可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意分析知，任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，设正方体内水的体积为，而，由锥体的体积公式求解即可.

【详解】如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，

则平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面，

若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，

设正方体内水的体积为，而，

而（升），

（升），所以的取值范围是．

故选：C．

8. 一纸片上绘有函数（）一个周期的图像，现将该纸片沿轴折成直二面角，此时原图像上相邻的最高点和最低点的空间距离为，若方程在区间上有两个实根，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由原图像上相邻的最高点和最低点的空间距离得出，再由正弦函数的性质得出实数的取值范围.

【详解】原图像上相邻的最高点和最低点的空间距离为，

，故，

方程在区间上有两个实根，

即有2个解，

由于，

，则.

故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 下列选项正确的是（    ）

A.

B.

C. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则

D. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】利用三角函数的恒等变换结合三角形正弦定理辨析即可；

【详解】解：对A：；

对B：；

对C：若，由大角对大边得到，设为的外接圆半径，

由正弦定理得，得到，故C正确．

对于D：若，则，可得，则或者，所以为等腰或直角三角形．

故选：AC.

10. 已知、为两个不同平面，、为两条不同的直线，下列结论正确的为（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用线面垂直判定定理可判断A选项；利用线面垂直的性质定理可判断B选项；根据已知条件判断线面位置关系，可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项.

【详解】对于A，若，则取内任意两条相交直线、，使得，，

又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；

对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；

对于C，若，，则或，故C错误；

对于D，若，，则，故D正确.

故选：ABD．

11. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（    ）

A. 在区间上单调递增

B. 不是的一个周期

C. 当时，的值域为

D. 的图像关于轴对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，通过举反例取，得出单调递减；对于B，根据周期的定义，即可判断；对于C，由得出的解析式，设，即可得出值域；对于D，由奇偶函数的定义判断出为偶函数，即可判断D．

【详解】因为是上的偶函数，所以，

对于A：

当时，，设，

则，在上单调递减，

又上单调递增，

所以在单调递减，故A错误；

对于B：

，故B错误；

对于C：

当时，，

设，

则，

因为，

所以，故C正确；

对于D：

定义域为，

因为，

所以为偶函数，图像关于轴对称，故D正确；

故选：BCD．

12. 在平面四边形中，，，，其外接圆圆心为，下列说法正确的是（    ）

A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的直径为

C.  D. 过作交于点，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.

【详解】对于A，连接，在中，，，

由于，所以，故，

解得，

所以，，所以，

故，

，

故四边形的面积为，故A错误；

对于B，设外接圆半径为，则，

故该外接圆的直径为，半径为，故B正确；

对于C，

.

对于D，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：，

由于，所以，即，

解得，所以，所以，故，且，因为，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故，由A选项可知：，显然为锐角，

故，，

所以

，

所以，故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，若，则______.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】利用平面向量垂直的坐标运算求解.

【详解】解：因为，，且，

所以 ，

解得，

故答案为：

14. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用两角和的余弦公式直接求解即可.

【详解】由题知，，，

则．

故答案为：.

15. 如图，在边长为的正方形中，以为圆心，为半径的圆分别交于点．当点在圆上运动时，的最大值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积坐标运算和三角恒等变换知识可化简得到，结合正弦型函数最值可求得结果.

【详解】以点为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，

则，，

设，，则，，

则，

则当时，即，取得最大值.

故答案为：.

16. 如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点在上底面所在平面上，使得，点在下底面所在平面上，使得，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据条件,确定，的轨迹，然后确定外接球的球心位置，从而表示出外接球半径的关系式，最后结合函数分析求得的取值范围；

【详解】由题意，在中，，，，

由余弦定理得：，

所以，由勾股定理逆定理得：，

取、、的中点分别为、、，则，，

又，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为．

，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为，

则经过点，且三棱锥的外接球球心在直线上．

设，，球的半径为，

则在中，，

在中，则，

则，由知，

则，，所以．

故三棱锥的外接球的表面积．

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：典型的外接球问题，能够通过条件确定，的轨迹，然后确定外接球的球心位置，是本题的难点和突破点，值得收藏和借鉴；

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在中，角，，所对边分别为，，，且，，．

（1）求的面积；

（2）求边长及的值．

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.

（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.

【小问1详解】

由，且，

则，

所以．

【小问2详解】

由，

则，

又，则．

18. 如图，在四棱锥，四边形正方形，平面．，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；

（2）依题意可证平面，即可求出、，再根据利用等体积法求出点到面的距离.

【小问1详解】

证明：连接交于点，连接，

底面为正方形，为中点，

点是的中点，，

平面，平面，

平面．

【小问2详解】

解：因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，

所以，又，平面，

所以平面，平面，所以，

又点是的中点，，，所以，，

，，

所以，

设点到平面的距离为，则，即，

即，解得，

即点到平面的距离为.

19. 已知函数（，，）的部分图像如图所示，为图像与轴的交点，，分别为图像的最高点和最低点．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积．

（1）求角的大小；

（2）若，，点的坐标为，求的解析式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）根据面积公式即可得，即可求解.

（2）根据余弦定理可得，进而得为等边三角形，即可求解，根据即可求解.

【小问1详解】

因为，

又，∴，即

∵，∴．

【小问2详解】

由题意得，，，，

∴由余弦定理，得，即,

进而，所以三角形为直角三角形，又，

设边与轴的交点为，则,所以为正三角形，

∴且，

∴函数的最小正周期为2，∴

∴

又点在函数的图象上，∴，

即，即

∴，，即，，

又，∴．

故．

20. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为；②函数的图象可由的图象沿轴左右平移得到；③函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）请写出这两个条件的序号，求的解析式，并求出在上的值域；

（2）求方程在区间上所有解的和．

【答案】（1）条件为①③；；值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）分析可知，条件①②矛盾，则③满足条件，求出的值，可知②不满足条件，由此可得出函数的解析式，由求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；

（2）求出方程在区间上所有的解，即可求得结果.

【小问1详解】

解：函数满足的条件为①③；

理由如下：由题意可知②函数的最大值为，条件①②互相矛盾，

故③为函数满足的条件之一，由③可知，，所以，故②不合题意，

所以函数满足的条件为①③；

由①可知，所以，

因为，所以，

所以，所以的值域为.

【小问2详解】

解：因为，所以，

所以或，

所以或，

又因为，所以的取值为、、、，

所以方程在区间上所有的解的和为．

21. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，．

（1）证明：平面平面；

（2）当二面角的平面角的余弦值为时，求直线与平面夹角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理得平面，再根据面面垂直的判定定理得平面平面；

（2）取中点，连接，，可得为二面角的平面角，根据，求出，过作于点，可证直线与平面夹角即为．计算可得结果.

【小问1详解】

在中，由余弦定理得：，

所以，则，，即，

因为，，，所以，

所以，即，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面.

【小问2详解】

如图，取中点，连接，，

因为，，则，，

所以为二面角的平面角，

且由（1）知，平面平面，

所以，又，

所以，，.

在中，，中垂线，

所以由勾股定理可得，，

，所以，又，，

平面，所以平面，

又，所以平面，

过作于点，因为平面，所以，

因为，平面，所以平面，

所以直线与平面夹角即为．

中，，，

所以直线与平面夹角的正弦值为．

22. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．

（1）求该烟花的体积；

（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），

①请用表示燃料的体积；

②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．

【答案】（1）   

（2）① ；②

【解析】

【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可；

（2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；

②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解；

【小问1详解】

该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，

又，，，

所以该烟花的体积；

（2）①由图可知：，，

在梯形中，由，，

易知，故，

则，

所以；

【小问2详解】

由上问可知：

即

，

令，则，

上式即为，

又令，，则，

当时，，

当时，，

当时，

当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．

该烟花燃烧的最长时间为．