广东省汕头市潮南区2024_2025学年高一下册期末统考数学试卷【附解析】

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注意事项
1.答卷前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷选择题
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一项符合题目要求）
1.设，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】，，则,
故选：C
2.已知复数，则的虚部是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法化简，即可由虚部定义求解.
【详解】，故虚部为1，
故选：B
3.（ ）
A B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦的和角公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】，
故选：A
4.已知，且，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由可得，解得，
故选：C
5.已知函数，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用分段函数及指对数运算计算求解.
【详解】函数，
则.
故选：C.
6.已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】在三棱柱以及长方体中举反例，即可求解AB，根据空间中点线面的位置关系即可求解CD.
【详解】对于A,如图三棱柱中，, 平面,平面,但是平面与平面相交，故A错误，
对于B，如图在长方体中，,平面，平面,但平面与平面相交，故B错误，
对于C,若，，，则,C正确，
对于D,若，，，则或者异面，故D错误，
故选：C
7.从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举样本空间，即可由古典概型公式求解.
【详解】从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，构成的样本空间有共有10个样本点，
能构成三角形样本点有共有4个，
故概率为，
故选：A
8.如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点，则的正切值是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】在中，令，，则，，
因为边上的两条中线，相交于点，，则，，
于是，
，
，
所以,
因为,
所以，
故
故选：D
二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9.某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：kg）绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有（ ）
A.直方图中的
B.过去60天苹果日销售量的平均数估计值为52kg
C.过去60天苹果日销售量的众数估计值为50kg
D.过去60天苹果日销售量的中位数估计值为55kg
【答案】AB
【解析】
【分析】利用各组频率之和为1可求解的值，进而判定A；根据平均数、众数以及中位数的计算公式即可判定BCD.
【详解】对于A，，解得，故A正确；
对于B，平均数为，B正确；
对于C，众数为频率最大的一组的中间值，故C错误；
对于D，由于0.015+0.025×10=0.40.5，
设中位数为，则，解得，故D错误.
故选：AB
10.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为
B.的一个对称中心为
C.在区间上单调递增
D.的图像向右平移个单位后，解析式为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据周期公式即可求解A，代入验证，结合正切函数的性质即可求解BC，利用函数图象的平移，以及诱导公式即可求解D.
【详解】对于A,由于，则的最小正周期为，故A正确，
对于B，时，则，故是的一个对称中心，故B正确，
对于C,当时，
由于，故在区间上不是单调递增，C错误
对于D,的图像向右平移个单位后得到，故D正确，
故选：ABD
11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B.若，则点P的轨迹长度为
C.若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D.若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B，将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到最小值，利用勾股定理求出即可判断C，先找到球心，利用勾股定理得出半径，进而可判断D.
【详解】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，
所以，又E，F分别是棱的中点，
所以，所以，
平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
因为N，E分别是棱的中点，所以，且，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以，又平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
又，MN，平面BDNM，
所以平面平面CEF，
点P是正方形内的动点，且平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得，设，
，
所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，
所以点P的轨迹长度为，故B错误：
如图，将平面CEF翻折到与平面共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，
∵，且，
所以点Q为EF的中点，所以，
所以，
即的最小值为，故C正确：
如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，
若P是棱的中点，则，
所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，
过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，
连接OP，设，则，
连接OC，，所以，
所以，解得，
所以，
点到平面的距离为，
则球心到平面的距离为，
则截面圆的半径为，
所以截面的面积为，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：
（1）先找两个面的外心；
（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；
（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.
有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的____倍.
【答案】2
【解析】
【分析】根据圆锥的体积公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径以及高分别为，则变化之后的半径和高分别为，
则原来的体积为，变化后的体积为,
故,
故答案为：2
13.一台机床生产一种零件，10天中生产的次品数为：，则这10天生产次品数的方差是____.
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的计算公式即可求解.
【详解】平均数为，
故方差为，
故答案为：
14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出的最值.
【详解】由题可知，
则由角平分线性质和三角形面积公式可得：
，
化简得，即，
所以，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：
利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.
四、解答题（共5小题，共77分.需写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知向量，满足，.
（1）若向量与的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求向量，的夹角.
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的定义即可求解，
（2）根据模长公式即可求解，
（3）根据垂直关系以及夹角公式即可求解.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
由可得，解得，
故，
【小问3详解】
由可得，故，
故，
由于，故
16.一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”.
（1）求事件的概率；
（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由.
【答案】（1）
（2）事件与事件相互独立.
【解析】
【分析】（1）根据题意求出样本空间以及事件的样本点，利用古典概型公式即可求解；
（2）先求事件与事件的样本点，进而求，根据事件的独立性的定义即可求解.
【小问1详解】
由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码，
则共有36个样本点，共有18个样本点，
所以；
【小问2详解】
共有18个样本点，
共有个样本点，
所以，，所以，
所以事件与事件相互独立.
17.如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．

（1）求证：//平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）解法一：构造平行四边形，根据线面平行判定定理证明即可；解法二：构造平行平面，利用面面平行的性质证明线面平行；
（2）根据几何体的线面关系确定底面积与高度距离，即可的体积.
小问1详解】
解法一：取中点，连接，，

因为是中点，所以，，
因为是中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
解法二：取中点，连接，，

因为是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为是中点，是中点
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
【小问2详解】
取中点，连接，

在正三棱柱中，
所以，且，
因平面平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，即平面，
所以的长为点到平面的距离，
又的面积为，
所以，
所以三棱锥的体积为．
18.如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：平面PCD；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，得出，再证明和得出平面，即可证明；
（2）取中点，过作交延长线于，可得为二面角的平面角，设即可求出.
【小问1详解】
取中点，连接，
因为为中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，为中点，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面；
【小问2详解】
取中点，在平面内过作交延长线于，连接，
因为，所以，
又平面平面，交线为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以二面角的余弦值为.
19.为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，.
（1）求角；
（2）若，求面积取值范围；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；
（2）由三角形的面积公式得，利用正弦定理得，又，由为锐角三角形得的范围，进而求解；
（3）设为外接圆的半径，由正弦定理求，即，先求，，，又，即，利用三角函数先求的范围，即可求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得：，
又，
所以，又，所以，
即，由，
所以；
【小问2详解】
由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）由，所以，所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，
所以面积的取值范围为；
【小问3详解】
设为外接圆的半径，由正弦定理有，即，
所以，由余弦定理有，
所以，
同理，
又
，
所以，所以
，
又由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为.