2024-2025学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i是虚数单位，在复平面内，复数z=i⋅(3+i)，则z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是( )
A. 0.61B. 0.63C. 0.625D. 0.66
3.在△ABC中，已知A=45°,a= 2，则△ABC的外接圆直径为( )
A. 2B. 2C. 12D. 22
4.平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(t,2)，B(4,0)，∠A=90°，则实数t=( )
A. 2B. −2C. ±2D. 2
5.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为5，则圆台的侧面积为( )
A. πB. 16πC. 17πD. 25π
6.已知a=(0,6),b=(1,1)，向量a在b上的投影向量的坐标为( )
A. (1,1)B. (−3,3)C. (3,3)D. (−3,−3)
7.如图，△O′A′B′是△OAB用“斜二测画法”画出的直观图，O′A′=A′B′，O′A′⊥A′B′，O′B′=2，则△OAB的周长是( )
A. 2 2+2
B. 4 2+2
C. 2+4
D. 2 2+2 3+2
8.在△ABC中，已知AB=2，BC=3，B=π3，点M为AC上的点，且AM=3MC，则BM⋅AC=( )
A. 316B. 174C. 1716D. 32
二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级；在35～75μg/m3，空气质量为二级；超过75μg/m3为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值(单位：μg/m3)，则下列说法正确的是( )
A. 这10天PM2.5的日均值逐日增大
B. 这10天中PM2.5日均值的平均值是48.8
C. 从PM2.5日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差
D. 这10天PM2.5日均值超标的有3天
10.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是( )
A. PB⊥AC
B. PC⊥BC
C. 平面ABC⊥平面PAC
D. 平面PBC⊥平面PAC
11.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A=“第一次取出的是红球”，B=“取出的两球同色”，C=“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是( )
A. P(A)=12B. B与C互为对立事件
C. A与B互斥D. A与C相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知i是虚数单位，复数z满足|z−2i|=1，请写出一个满足条件的复数z= ______．
13.假设事件A与B相互独立，且P(A)=0.8，P(B)=0.5，则P(A∪B)= ______．
14.二面角α−l−β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成的角的正弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知|a|=1,|b|=2,a⋅b=1．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a−b|．
16.(本小题8分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面ACE；
(2)求三棱锥D−AEC的体积．
17.(本小题8分)
为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据(单位：cm)按[140,150)、[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图
(1)求a值，并估计这100名学生身高的第45百分位数；
(2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在[150,170)的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高都不低于160cm的概率．
18.(本小题10分)
如图，A，B，C，D四点在同一个圆上，BA=BC=5，AD=2，∠BAD为钝角，且sin∠BAD=35．
(1)求CD；
(2)记∠BDC为α，求sin(α+C)的值．
19.(本小题10分)
为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为310，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为12．
(1)求p和q的值；
(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：z=i⋅(3+i)=−1+3i，在复平面内，复数z对应的点是(−1,3)，在第二象限．
故选：B．
先根据复数乘法计算出复数值，然后根据定义判断．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，
所以合计列对应的频率最为合适．
故选：C．
根据频率和概率的关系即可判断．
本题考查频率与概率的关系，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可得asinA=2R，其中R为三角形外接圆半径．
所以三角形外接圆直径为 2 22=2．
故选：A．
根据正弦定理可直接求出外接圆直径．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(t,2)，B(4,0)，∠A=90°，
所以AO=(−t,−2),AB=(4−t,−2)，
因为∠A=90°，所以AO⋅AB=−4t+t2+4=0，解得t=2．
故选：A．
由题意可知AO⋅AB=0，列出方程求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为5，
可设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r.母线长为5，
在如图所示的圆台轴截面中，AE=r，BF=EF=4r，AB=5，
过点A作AG⊥BF于点G，
所以有AB2=AG2+BG2，
有52=(4r)2+(4r−r)2，解得r=1．
所以圆台的侧面积S=π(r+4r)×5=25π．
故选：D．
假设圆台的上底面半径，则下底面半径和高可知，在圆台的轴截面中计算即可求出上底面半径，再利用圆台的侧面积公式求解即可．
本题考查了圆台的侧面积公式，是中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，a=(0,6)，b=(1,1)，
则a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|⋅b|b|=6 2⋅(1,1) 2=(3,3)．
故选：C．
直接根据投影向量的公式求解．
本题考查了投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，直观图△O′A′B′中，O′A′=A′B′，O′A′⊥A′B′，O′B′=2，
易得O′A′= 2，
由斜二测画法还原原图，作出△OAB，如下图所示：
其中OB=O′B′=2，OA=2 2，∠AOB=π2，
由勾股定理可得AB= OA2+OB2= (2 2)2+22=2 3，
故△OAB的周长为OA+OB+AB=2+2 3+2 2．
故选：D．
结合图形作出△OAB，求其各边长，即得周长．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法的步骤，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
过点A作AD⊥BC，
因为AB=2，BC=3，∠B=π3，
所以A(1, 3)，C(3,0)，
所以AC=(2,− 3)，
所以AM=3MC，所以AM=34AC=(32,−3 34)，
所以BM=BA+AM=(1+32, 3−3 34)=(52, 34)，
所以BM⋅AC=52×2+ 34×(− 3)=5−34=174．
故选：B．
建立平面直角坐标示，求出相应的坐标，利用坐标运算求数量积即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，由图可知这10天PM2.5的日均值有增有减，故A错误；
对于选项B，这10天中PM2.5日均值的平均值x−=110(30+41+32+34+40+80+78+60+45+48)=48.8，故B正确；
对于选项C，前5天平均值为30+41+32+34+405=35.4，后5天平均值为80+78+60+45+485=62.2，
所以前5天的日均值的方差15i=15(xi−35.4)2=19.02，
后5天日均值的方差15i=610(xi−62.2)2=213.76
因为19.020，则sinα= 1−cs2α= 55，
sin(α+C)=sinαcsC+sinCcsα= 55×45+35×2 55=2 55．
(1)先解△ABD，用余弦定理求出BD，由圆内接四边形性质可得sin∠BCD=35，从而得到cs∠BCD=45，然后在△DBC中由余弦定理求CD；
(2)在△DBC中由余弦定理，求出csα，然后由两角和的正弦公式求解．
本题考查了解三角形，属于中档题．
19.【答案】p=35,q=12；
310．
【解析】(1)根据题意，每题甲、乙两人同时答对的概率为310，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为12．
则pq=310p(1−q)+q(1−p)=12，且p>q，
解得p=35，q=12；
(2)根据题意，甲、乙两人共答对3道题，有2种情况，
①甲答对2题，乙答对1题，概率P1=p2×2q(1−q)=(35)2×2×12×12=950；
②甲答对1题，乙答对2题，概率P2=2p(1−p)×q2=2×35×25×14=325；
于是甲、乙两人共答对3道题的概率P=P1+P2=950+325=310．
(1)根据独立事件的乘法公式，列出关于p，q的方程组求解；
(2)甲、乙两人共答对3道题，可分为甲答对2题，乙1题；甲答对1题，乙2题，结合独立事件乘法公式求解．
本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，涉及概率的性质，属于基础题．第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
66
126
183
375
命中的频率
0.66
0.63
0.61
0.625