2025年天津市中考数学试题及答案解析

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答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可。根据有理数的除法运算法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
【详解】解：；
故选B．
2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解。主视图是从物体的前面向后面投射所得的视图，能反映物体的前面形状。
【详解】观察由6个相同正方体组成的立体图形，从前面看，其主视图对应选项D中的图形。

故选：D
3. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可。
【详解】解：找到被开方数前后的两个完全平方数，从而确定无理数的范围
∵，
∴，
∴，
∴的值在3和4之间；
故选C．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查轴对称图形的判断能力。轴对称图形是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
5. 据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义。科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。
【详解】解：将数据用科学记数法表示应为．
故选：B．
6. 的值等于（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】本题考查特殊角的三角函数值的计算能力。牢记特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值，再按照运算顺序进行计算。
【详解】解：
故选：A．
7. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查反比例函数的函数值大小比较能力。先根据反比例函数的系数判断函数图象所在的象限及函数的增减性，再结合各点的横坐标判断函数值的大小。
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
8. 《算学启蒙》是我国古代数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查一元一次方程在追及问题中的应用能力。追及问题中，快马追上慢马时，两者所走的路程相等，根据路程=速度×时间列出方程。设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可．
【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得：
．
故选：A
9. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】本题考查分式的加法运算能力。分式加法运算时，先通分转化为同分母分式，再按照同分母分式加法法则进行计算，最后约分得到最简结果。
【详解】解：原式
；
故选A．
10. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查尺规作图、等腰三角形判定及三角形外角性质的综合应用能力。根据尺规作图的步骤得出相关线段相等，再结合角平分线的性质、三角形外角性质等进行推理判断。
【详解】解：由作法得：，
根据题意无法得到与的大小关系，
所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，故D选项正确；
题干中没有说明的大小关系，
∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误；
故选：D
11. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综合应用能力。利用旋转的性质得到对应边和对应角相等，证明三角形全等，再结合线段垂直平分线的性质及勾股定理进行求解。连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】本题考查动点问题中函数与方程的综合应用能力。分不同时间段分析动点的位置，结合三角形面积公式、二次函数性质及一元二次方程求解判断结论的正确性，本题的解法用到了数学分类讨论的思想。当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③．
【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为，
①当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，故①正确；
②当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随t的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
即当时，的最大面积为，故②错误；
③当点M在上时，
∵的面积为，
∴，
解得：（舍去），
∴当时，的面积为；
当点M在上时，
∵，，
∴，即，
此时，
解得：，
∴当时，的面积为；
∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．
故选：C
第II卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________．
【答案】
【解析】本题考查简单随机事件的概率计算能力。概率的计算公式为：P(A)=所求情况数与总情况数之比。
【详解】解：袋子中绿球的个数为6，球的总数为13，所以抽到绿球的概率为，
故答案为：．
14. 计算的结果为____________．
【答案】
【解析】本题考查合并同类项的运算能力。
合并同类项时，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
【详解】解：；
故答案为：．
15. 计算的结果为____________．
【答案】60
【解析】本题考查利用平方差公式进行二次根式运算的能力。平方差公式为(a+b)(a-b)=a² - b²，利用该公式可简化二次根式的计算。
【详解】解：
故答案为：60．
16. 将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一，满足即可）
【解析】本题考查一次函数图象的平移及图象与象限的关系的应用能力。一次函数y=kx+b（k≠0），当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限，根据平移规律确定k的取值范围。
【详解】解：由题意，平移后的解析式为：，
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
∴，
∴；
∴的值可以是2；
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
17. 如图，在矩形中，，，点在边上，且．
（1）线段的长为____________；
（2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形判定与性质等知识的综合应用能力。
（1）利用矩形的性质得到直角，再结合已知线段长度，用勾股定理求出线段长；（2）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质及勾股定理等求出线段长，即过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，过点M作于H，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（1）线段的长为____________；
（2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．
【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出．
【详解】解：（1）由勾股定理得，
故答案为：；
（2）如图所示，点即为所求，
作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求．
理由：∵，
∴为圆的直径，
∵为正方形的对角线，
∴,
∴垂直平分线段，
∴点为圆的圆心，
∴，
又，
，
，
平分，
∴点为线段的中点，
由网格可知点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点为线段的中点，
∵，
，
，
∴，
又，
∴，
,
即，
延长交于点，
∵，
∴,
，
∴
∵为圆的切线，
∴，
，
,
∴，
即，
∵，
，
∴为等腰三角形，
∴，
∴点即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得____________；
（2）解不等式②，得____________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为____________．
【答案】（1）
（2）
（3）作图见详解 （4）
【解析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，
（1）根据移项，合并同类项即可得解；
（2）根据移项，合并同类项即可得解；
（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形；
（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集；
解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．
【(1)详解】
解：移项，得：，
合并同类项，得：，
∴解不等式①，得：，
故答案为：；
【（2）详解】
移项，得：，
合并同类项，得：，
∴解不等式②，得：，
故答案为：；
【（3）详解】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
【小问4详解】
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________；
（2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？
【答案】（1）40，25，4，3
（2）这组数据的平均数是
（3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350
【解析】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合应用、众数、中位数、平均数的计算及用样本估计总体的能力。
（1）根据条形统计图和扇形统计图的关系求出总数、百分比，再确定众数和中位数；（2）利用加权平均数公式计算平均数；（3）根据样本中某部分的百分比估计总体中该部分的数量。
【（1）详解】
解：；
3小时人数所占的百分比为，
∴；
∵在该组数据中4出现的次数最多，
∴众数为4；
中位数为排序后的第20位和21位的平均数，
∴中位数为；
故答案为：40，25，4，3；
【（2）详解】
解：该组数据的平均数为，
∴这组数据的平均数是；
【（3）详解】
解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占，
根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有.
估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350．
21. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
（1）如图①，求的大小；
（2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识的综合应用能力。
（1）连接切线的半径，利用切线的性质及等腰三角形的性质求出角度；连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可；
（2）利用平行线的性质、三角形外角性质及直径所对圆周角为直角，结合解直角三角形求出线段长，得到，直径得到，解，进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
【小问2详解】
由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．
参考数据：，．
【答案】世纪钟建筑的高度约为
【解析】本题考查解直角三角形在测量高度问题中的应用能力。
通过延长线段构造直角三角形，利用仰角的正切值表示出相关线段的长度，再根据线段之间的关系列出方程求解。延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可．
【详解】解：如图，延长与相交于点，
根据题意，可得，
有，，，，，
在Rt中，，
，
在中，，
．
，
．
．
．
答：世纪钟建筑的高度约为．
23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：小华从公园返回家的速度为____________；
③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）①②③ （2）
【解析】本题考查函数图象的分析、分段函数解析式的求法及函数与不等式的综合应用能力。
（1）从函数图象中获取信息，计算不同时间点的距离、返回速度，并用待定系数法求分段函数解析式；（2）求出妈妈的距离函数，结合条件列出不等式求解。
（2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．
【小问1详解】
解：①小华去书店的速度为，
1分钟时小华离家的距离为；
由图可知18分钟时，小华离家的距离为；
50分钟时，小华离家距离为；
故答案为：；
②小华返回家速度为
故答案为：；
③由①得小华去书店的速度为，
∴当时，；
由图可知，当时，；
当时，假设直线解析式为，
将代入解析式得，
解得
∴；
综上，；
【小问2详解】
解：如图所示，为妈妈的图形，
根据题意可知，小华妈妈的速度为，
所以其直线解析式为，
当时，
令，
解得，经验证，符合题意；
令，
解得，经验证，符合题意；
结合图形，当时，．
24. 在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．
（1）填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；
（2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．
①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1） （2）①，②
【分析】本题考查坐标与图形、等边三角形的性质、平移的性质及解直角三角形等知识的综合应用能力。
（1）过顶点作垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出坐标，作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可；
（2）根据平移的性质及解直角三角形表示出线段长，确定t的范围，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可；
（3）分，和三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：作于点，作于点，
∵均为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①∵平移，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：，
当点与点重合时，，
∴当与重叠部分为四边形时，；
②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴，
由（1）和（2）①可知：，，，
∴，
∴当时，的值最小，为；
∴；
设交轴于点，则：，
∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为，
∴；
当，随着的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时点轴，如图：
此时重叠部分为五边形，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由平移可得：，，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴；
综上：．
【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
25. 已知抛物线为常数，．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
【答案】（1） （2）①；②
【详解】本题考查二次函数的顶点坐标、二次函数与坐标轴的交点及二次函数与几何图形的综合应用能力。
（1）将a的值代入抛物线解析式，化为顶点式求出顶点坐标；（2）①根据条件求出抛物线解析式，结合等腰三角形的性质求出点的坐标；②利用平行四边形的性质、对称性质及勾股定理等求出顶点坐标。
【小问1详解】
解： ，
∴该抛物线的解析式为，
，
∴该抛物线顶点的坐标为；
【小问2详解】
①∵点在抛物线上，
∴，即，
又，点，
，
∴抛物线解析式，
如图，点在第四象限，过点作轴于点，
，
∴，
，
∴．
∴，
又，
∴，
，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
，
整理得，，
解得
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴点的坐标为；
②∵，
∴，
在轴上点的左侧取点，使，连接．
，得．
，
．
∴，则．
在中，根据勾股定理，，
．
∴．
．
又点，得．
．即
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段上时，取得最小值，即．
在中，，
．
将代入，得．
解得（舍）．
∴．
点．
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段可以看作是由线段经过平移得到的，
点的坐标为．
小华离开家的时间
1
6
18
50
小华离家的距离