2025年山东省烟台市中考数学试卷（含解析）

这是一份2025年山东省烟台市中考数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字，5分钟是，在之前到达，等内容，欢迎下载使用。
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）.
1．的倒数是
A．3B．C．D．
2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是
A．B．C．D．
4．如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是
A．B．
C．D．
5．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为
A．B．C．D．
6．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是
A．的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
7．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为
A．350元B．320元C．270元D．220元
8．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为
A．4B．C．2D．
9．如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且△是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．①④D．①③④
10．如图，在△中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若关于的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地 共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ．
12．实数的整数部分为 ．
13．因式分解： ．
14．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，△的顶点的坐标为．以点为位似中心作△与△位似，相似比为2，且与△位于点同侧；以点为位似中心作△与△位似，相似比为2，且与△位于点同侧，按照以上规律作图，点的坐标为 ．
16．如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．先化简，再求值：，其中．
18．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为（分．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在 社团的排名更靠前（填“甲”或“乙” ；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
19．如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作△，使△与△关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长．
20．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
21．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，．
22．如图，△内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长及的半径．
23．【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造△与△全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造△与△全等，从而得出与的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系 ；
【类比探究】
（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，；
【拓展延伸】
（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
24．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点，使△是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1．的倒数是
A．3B．C．D．
解：因为，则3的倒数是，
则的倒数是．
故选：．
2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
解：选项、、的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，则不是中心对称图形；选项的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，则是中心对称图形；
故选：．
3．下列计算正确的是
A．B．C．D．
解：．和不是同类项，不能进行计算，故选项不满足题意；
．，故选项满足题意；
．，故选项不满足题意；
．，故选项不满足题意；
故选：．
4．如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是
A．B．
C．D．
解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线，
故选：．
5．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为
A．B．C．D．
解：因为，，
，
所以，，
所以．
故选：．
6．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是
A．的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
解：因为这组数据为6、6，7、8、8，
所以的值是5，故选项说法对，不满足题意；
该组数据的平均数是，故选项说法对，不满足题意；
众数为6，8，故选项说法错，满足题意；
若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小，故选项说法对，不满足题意；
故选：．
7．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为
A．350元B．320元C．270元D．220元
解：设这款风扇每台的标价为元，
由题意知：，
得到：，
则这款风扇每台的标价为350元．
故选：．
8．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为
A．4B．C．2D．
解：因为菱形的顶点在轴正半轴上，，所以
，，所以，
设，所以，，所以，得：，
过作于，
，，
，
；
故选：．
9．如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且△是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．①④D．①③④
解：因为二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，
，，，所以，故①满足题意；
因为顶点的坐标为，
所以当时，最大，
当时，，
所以，
所以，则②不满足题意；
则二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线，
则，，
则，，
则，则③满足题意；
如图所示，△为等边三角形，
，，，，
则，
设，的横坐标分别为，，
则，
则，
当，则，，
则，
则，
因为，
所以，
所以，
所以，则④满足题意；
故选：．
10．如图，在△中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若关于的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
解：因为，，是角平分线，
所以，，
设，所以，
如图所示，在上取一点，使得，
则，
则，
’，
则，
得：，
，，
则，
则△△，，
则，
由于关于的函数图象过点，
则，
得：，
所以，
当时，，
所以该图象上最低点的坐标为；
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地 共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ．
解：由于．
故答案为：．
12．实数的整数部分为 4 ．
解：由于，则，则，
所以的整数部分为4，
故答案为：4．
13．因式分解： ．
解：，
故答案为：．
14．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
解：连接、、，过点作于点，如图：
由于六边形为正六边形，
则，，，
则△和△为等边三角形，，
则，
因，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，△的顶点的坐标为．以点为位似中心作△与△位似，相似比为2，且与△位于点同侧；以点为位似中心作△与△位似，相似比为2，且与△位于点同侧，按照以上规律作图，点的坐标为 ．
解：设直线的解析式为：，
所以，
得：，
因此的解析式为，
，
由题得：，，，
设的坐标为，
则，
得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为，
故答案为：．
16．如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为 ．
解：如图所示，在菱形中，，，连接交于，
，，
，
设运动时间为，得到，，，即，
△△，
，
，
，
作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，
，，，
，
在上，且在弧上，
所以在此过程中，点的运动路径长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．先化简，再求值：，其中．
解：原式．
因为，
所以原式．
18．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为（分．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）成绩为8分的学生在 乙 社团的排名更靠前（填“甲”或“乙” ；
（3）已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
解：（1）由数据得到，甲社团满分人数为3人，乙社团7分的有12人，补全图形如下所示：
（2）甲社团成绩中位数为（分，乙社团成绩中位数为（分，
则成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前；
（3）男生用表示，两名女生分别用和表示．
由图可知共有6种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生有4种结果，
则所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为．
19．如图，是矩形的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作△，使△与△关于直线成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若交于点，，，求的长．
解：（1）如图所示，△即为所求作的三角形；
由作图得：，，，、
所以△△，
所以△即为所求作的三角形；
（2）如图所示，在矩形，
则，，，，
则，
则，
则，
则，设，则，，
得：，
则．
20．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
解：（1）设甲种路灯的单价是元，乙种路灯的单价是元，
由题意得：，得：．
答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元；
（2）设购买盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费元，则购买盏乙种路灯，
由题意得：，
由于，
则随的增大而减小，
又因为，
所以，
所以时，取最小值，此时（盏．
答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少．
21．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，．
解：（1）如图所示，过点作于点，
设，
由题意得到，，，，
，，
则，
在△中，，
则，得：，
所以渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为15海里；
（2）在△中，，，
则，
则，
小时分钟，
从，经过142.5分钟是，在之前到达，
则如果不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．
22．如图，△内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长及的半径．
【解答】（1）证明：如图所示，作直径，连接，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为为直径，
所以，
所以，
所以，
则，
所以，
因为为直径，
所以是的切线；
（2）解：因为，
所以，
因为，，
所以△△，
所以，
即，
解得，
所以；
因为，，
所以，
在△中，，，
所以，
因为为直径，
所以，
因为，，
所以△△，
所以，
即，
解得
所以的半径为．
23．【问题呈现】
如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造△与△全等，从而得出与的数量关系；
思路二：如图3，构造△与△全等，从而得出与的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系 ；
【类比探究】
（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，；
【拓展延伸】
（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
解：（1），
如图所示，在射线上截取线段，连接，
因为，，
所以，
又因为四边形是正方形，
所以，
所以△△，
所以，，
又因为四边形是正方形，
所以，
所以，
所以△是等腰直角三角形，
所以，
故答案为：；
（2）可求出正五边形的一个内角为，
如图所示，在射线上截取线段，连接，过点作于点，
同理可知△△，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以；
（3）如图所示，在射线上截取线段，连接过点作于点，
同理求得到，
所以，
所以，
得到，
则，
所以，则，
故答案为：．
24．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点，使△是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
解：（1）因为抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，且，，
则，，
则，
求得：，
则抛物线表达式为；
（2）①由于抛物线表达式，当，，则，
设直线表达式：，所以，求得：，
所以直线，
因为，所以，，
所以，
所以；
②存在，
，而，
当时，，
求得：或（舍去，
所以，
所以，
当时，，
整理：，
求得：或（舍去，
所以，所以，
当时，，
求得：，
得：或（舍去或（舍去，
所以，
则，
综上所得：当△是等腰三角形时，或或；
（3）在轴负半轴上取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转性质得：，，
因为与，
所以，
所以，
所以，
所以△△，
所以，
所以点在线段上运动（不包括端点），
所以当时，最小，
因为，，，
所以△△，
所以，
所以，
所以当时，
所以，
所以，
所以线段长度的最小值．
位置信息
码头在灯塔北偏西方向
时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警
受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
位置信息
码头在灯塔北偏西方向
时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警
受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．