【数学】吉林省通化市梅河口市四校联考2025年中考模拟试卷（解析版）

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1. 在，2，，3这四个数中，比小的数是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】，
故，2，，3这四个数中，比小的数是．
故选：A．
2. 如图是一个正方体的表面展开图，则与“学”字相对的字是（ ）
A. 核B. 心C. 养D. 数
【答案】B
【解析】由图可知：与“学”字相对的字是“心”，
故选：B．
3. 在数轴上表示不等式的解，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】不等式的解集为：．
在数轴上表示为：
故选：C．
4. 如图，这是生活中常用的楼梯，其梯子的平面图如图所示，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示：与交于点，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】与交于点O，，
，
点O到的距离为，点O到的距离为，
，
蜡烛火焰的高度是，
，
解得，
故选：C．
6. 如图，为的直径，构造四边形，且弦，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
∵弦，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：C．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
7. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
8. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
∴，解得：，
∴符合题意；
故答案为：（答案不唯一）．
9. 2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，旨在通过“冰雪”这一元素串联亚洲各国，打造冰雪经济新增长级，促进亚洲各国和“一带一路”国家的人文交流．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】根据题意可建立如下坐标系，∴，故答案为：．
10. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】由题意知，，
∵点C，D分别是的中点，
，
，
∴花窗的面积为，
故答案为：．
11. 如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则______．
【答案】3
【解析】在中，，，，
∴
由折叠得，，，
∴
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴．
故答案为：3．
三、解答题：本题共11小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
12. 先化简，再求值：，其中，．
解：
，
当，时，原式．
13. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
（1）解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是．
故答案为：；
（2）解：根据题意可列表格如下，
根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种，∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．
14. 如图，在四边形中，，连接，点E在上，，连接，．求证：．
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
15. 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，
由题意得：，
解得：，
∵，
∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”．
16. 青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：（），其中表示体重（），表示身高（）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查．
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据：
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于_____等级；（填“”，“B”，“C”，“D”）
（2）求本次调查的总人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中表示体重指数（）“”等级的扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？
解：（1）∵，，
∴他的体重指数（）属于B等级；
故答案为：B.
（2）本次调查的样本容量是：，
B等级的女生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3），
答：“”等级的扇形的圆心角的度数为；
（4）（人），
答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于，两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
解：（1）点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
，
点和点都在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）由一次函数解析式
当时，，当时，
∴，，
18. 图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆，，，的长度均为，螺杆与水平地面平行．
（1）当时，求千斤顶顶部到水平地面的距离的长．
（2）当由变为时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长将增加多少？（结果精确到．参考数据：，，，）
解：（1）如图，连结，
∵，，，的长度均为，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴．
∴是正三角形，
∴，
∴千斤顶顶部到水平地面的距离为．
（2）如图，连结，与交于点O．
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴千斤顶顶部到水平地面的距离将增加．
19. 如图1，等边中，分别交、于点D、E．
（1）求证：是等边三角形；
（2）将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F．
①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若，，当B，D，E三点共线时，求的长．
（1）证明：是等边三角形，
，
∵，
，．
是等边三角形；
（2）解：①的度数是定值，理由如下：如图2，
在和中，
，
，
，
又，
；
②Ⅰ、当，，三点共线，且上方时．如图3，
过点作于，
在中，，．
∴
∴，；
在中，，
；
Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，如图4，
过点作于，
．
同理可得，
综上所述，或8．
20. 如图，在中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点、重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下侧作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为．
（1）求的长；
（2）直接写出点M落在边上时t的值；
（3）当正方形与重叠部分为四边形时，求S与t之间的函数解析式；
（4）边将正方形的面积分为两部分时，直接写出t的取值范围．
（1）解：，
，
在中．，
；
（2）解：当点M落在边上时，
由题意得：，
∵，，
∴，
，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
；
（3）解：分三种情况：
①当时，正方形与重叠部分是正方形，
∴，
②当点B与N重合时，，得，
则当时，如图，正方形与重叠部分是五边形（不符合题意，舍弃）；
③当点P与D重合时，，得，
则当时，如图，正方形与重叠部分是梯形，
，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：；
（4）解：当时，不存在；
当时，如图，五边形的面积大于四边形的面积，
即五边形的面积大于正方形的面积，
故不存在；
当时，如图，
∵边将正方形的面积分为两部分时，
①，
∴，
解得：（舍），；
②，
∴，
解得：（舍），（舍）；
点P与点B重合时，，得，
则当时，如图，
由，
∴，
∴，
由题意得，
即满足边将正方形的面积分为两部分，
综上所述，或时，边将正方形的面积分为两部分．
21. 阅读与思考
物理现象中的一次函数
实验结果：浸在液体中的物体会受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力，即，g是一个常数，近似取值为，表示液体的密度，表示排开液体的体积．当液体的密度不变时，物体在液体中所受浮力F是它浸没在液体中的体积V的函数，且物体浸在液体中的体积越大，浮力就越大．
例如：现有一个长方体物品，当它浸在水中时受到的浮力，水的密度为，若该长方体物品的底面积为，那么该物品浸入水中的深度为多少米？
解：设该物品浸入水中的深度为．
由题意，得．解得．
该物品浸入水中的深度为．
实验探究：某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量．他们将一个底面积为的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中，桶中水足够深，食品盒下表面始终与水面平行，如图①所示．该兴趣小组将装载质量与食品盒浸入水中的深度的关系绘制成了图②所示的函数关系图，实验发现当装载质量为0时，食品盒浸入水中的深度为．
（1）请结合实验现象，观察图②，解释点A的实际意义：__________；
（2）根据以上材料，当装载质量不超过时，装载质量与食品盒浸入水中的深度成一次函数关系，若装载质量为时，食品盒浸入水中的深度是．请你帮助该小组求出这个一次函数的解析式；
（3）若这个食品盒的高度是，最大装载质量为，请求出a的值．
解：（1）根据题意和图象可知：点A的实际意义是：空食品盒未装载物品时，浸入水中的深度为．
（2）设此一次函数的解析式为．
当时，，
，
．
．
（3）该食品盒完全浸入水中时，．
由（2）知，，
，
解得．
答：a的值为．
22. 函数的图象记为，函数的图象记为，图象、合起来得到的图象记为图象G经过点，
（1）求图象G对应的函数解析式；
（2）求图象G对应的函数y随x增大而减小时，x的取值范围；
（3）当时，求图象G所表示的函数的最大值；
（4）已知线段的两个端点坐标分别为，若，当图象G能够与线段有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
（1）解：由题意，图象G经过点，，
，
，
∴；
（2）解：，，
对称轴为直线，的对称轴为直线，如图所示，
当成时，函数y随x增大而减小；
（3）解：当时，取值为；
当时，取值为；
当时，取值为；
当时，取值为；
图象，合起来得到的图象记为G，
当时，图象G所表示的函数的最大值为；
（4）解：由题意，线段的两个端点坐标分别为，，
且轴，
的对称轴为直线，
由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时，
当时，与恰好有两个交点，
的对称轴为直线，
由抛物线对称性可知时，与恰好有两个交点，此时，
当时，与恰好有两个交点，
综上所述，当图象G能够与线段有两个公共点时，n的取值范围是或．
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C
等级
偏瘦（）
标准（B）
超重（C）
肥胖（D）
男
女