【数学】山东省泰安市泰山区2024-2025学年九年级下学期期中试题（解析版）

这是一份【数学】山东省泰安市泰山区2024-2025学年九年级下学期期中试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）．
1. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间
C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】，
，
则，即3和4之间，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，原计算错误；
D. ，计算正确；
故选：D．
3. 下列乐谱符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
4. 2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】确定和：将13000000的小数点从末尾向左移动位，得到，
此时，
故科学记数法为．
故选：C．
5. 如图，一块含有角的三角尺的两个顶点分别在一个长方形的对边上．如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是半圆的直径，
，
，
，
四边形是半的内接四边形，
，
点是弧的中点，
，
，
，
故选：C．
7. 一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 极差
【答案】B
【解析】∵一组数据，
∴平均数为：，中位数为，
众数为，极差为：，
去掉数据11为，
∴平均数为：，中位数为，
众数为，极差为：，
∴中位数发生变化，
故选：B．
8. 如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心，则阴影部分的面积是面积的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作于点，连接，，，
∵折叠，
，
∴，
同理
∴，
∴，
扇形
∴由圆的对称性及旋转可得阴影扇形．
故选B
9. 如图，在中，，，反比例函数在第一象限的图象分别交、于点、，且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
设，则，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，解得：，
直线的解析式为，
，
，解得：，
反比例函数在第一象限的图象分别交、于点、，，
反比例函数的解析式为，
联立，解得：或（舍去），
点的坐标为．
故选：B．
10. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设每只雀x斤，每只燕y斤，
交换一只雀和一只燕，两边重量相等，则，即，
五只雀和六只燕共重1斤，即，
所以
故选：B．
11. 如图，在中，、的角平分线交于边上一点，且，线段的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】四边形是平行四边形，
，，，，
，
、的角平分线交于边上一点，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
故选：D．
12. 如图，在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接交于点，

∵四边形是正方形，
∴，，且，，
∴，，，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果）
13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围为，
故答案为： ．
14. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为_______．
【答案】y＝（60﹣x）（300+20x）
【解析】由题意可得，
.
故答案为：.
15. 如图是一个可调节台灯，既可调节支点在立柱上的高度，又可调节灯杆与立柱的夹角．小张同学想知道灯芯到顶部的距离，经历了如图1的测量过程：他先将锁定，再将高度调整为，量得灯在桌面的照射直径为；继续将高度升到时，量得照射直径为．此时，小张算得为 _______．若继续操作，调整大小，使光线垂直于桌面，如图2所示，已知的长为，则此时灯芯距离桌面的高度为________．

【答案】①. 6 ②.
【解析】如图1所示：

由题意可知：，，则，，
，，则，，
设 ，
灯移动前后，灯光与桌面夹角不变，
，
，解得：，
即：，
如图2所示：过点作，过点作，过点作，
则有，，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：6，．
16. 如图，在中，，，，过上的动点作半径为的的切线，切点为，若为的中点，则的最小值为______．

【答案】
【解析】连接、、、，

在中，，
，
，
当取最大值时，最小，
，，
，
又，，
，
即、、共线，
为切线，
，
，
，
，
，
设，则，
，
当时，最大，
的最大值为，，
的最小值为，故答案为：．
17. 如图，在矩形中，E是的中点，连接，将沿翻折得到交于点H，延长相交于点G．若，则_______．
【答案】
【解析】如图，连接，
是的中点，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
18. 如图，在中，，点D，E，F分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是_______．
【答案】①②④
【解析】①，D为的中点，
，，
等边三角形，是等腰三角形，
，，
是线段的中点，
，，
，
E分别是线段的中点，
，，
设，则，
，，
，
，
，
是等边三角形，①正确；
②分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
，
，
，故②正确；
③，
，故③错误；
④是等边三角形，，
∴，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；综上所述，①②④都正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. 化简求值：其中x是不等式组的整数解．
解：
，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为，
∵当时，，
∴当时，原式．
20. 天舟六号是世界现役运输能力最大的货运飞船，5月10日，由中国航天科技集团五院研制的天舟六号货运飞船由长征七号遥七运载火箭发射升空，随后顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为庆祝我国航天事业取得的辉煌成就，学校开展了航天知识竞赛活动，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（）；B组（）；C组（）；D组（），并绘制出如图不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？
（3）现学校为获得最高分的甲、乙、丙三名同学颁发荣誉证书，在不知道证书内姓名的情况下随机发给三名同学，请用列表法或树状图法求出每个同学拿到的证书恰好都是自己的概率．
解：（1）由图知：B组有人，占抽样人数的，A组有6人，D组有人，
所以本次抽取的学生有：（人），
C组学生有：（人），
条形统计图补完整如图所示：

（2）（人），
答：这次竞赛成绩在A组的学生有人；
（3）根据题意，画出树状图如下：

可知总的情况有6种，刚好每个同学拿到的证书恰好都是自己的情况只有1种，
即所求概率为：，
故所求概率为：．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标．
解：（1）把点代入，得，解得，
一次函数的解析式为，
把点代入，得，
∴
把点代入，得，
反比例函数的解析式为，
（2）把代入，得，
，
设，则，
，，
，
，
或，
或．
22. 某零件制造车间可生产甲、乙两种零件，已知每名工人每天可生产甲种零件的数量比每天可生产的乙种零件的数量多1个，且一天内生产甲种零件180个和生产乙种零件150个所需要的工人数相同．
（1）求每名工人每天可生产甲种零件的数量；
（2）已知车间现有工人20名，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，设该车间每天安排x名工人制作甲种零件，且制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍，则怎样的安排才能使获利最大？最大利润为多少？
（1）解：设每名工人每天可生产甲种零件个，
则每名工人每天可生产乙种零件个，
由题可得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
每名工人每天可生产甲种零件6个；
（2）解：由（1）可知：每名工人每天可生产甲种零件6个，则每名工人每天可生产乙种零件个，
制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍，
，解得：，
设利润为，则有，
由关系式可知：随的增大而减小，故取最小，即时，有最大利润，
此时安排人制作甲种零件，人制作乙种零件，最大利润为：元．
23. 如图1，是的直径，弦，垂足为点E，连接．连接并延长交于点G，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，若，设，．
①用含有x的代数式表示的长；
②求y关于x的函数关系式．
（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
（2）解：如图1，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴．
（3）解：①如图2，连接，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，∴，
如图3，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，即 ，
两边同时除以，得： ，
设，则原方程变形为：，
，，
∴（舍），，
∴，
∴，∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求点的坐标，如果不存在，说明理由；
（3）若是抛物线第二象限上一动点，过点作轴于点，过点、、的圆与交于点，求的面积．
（1）解：，
，，
抛物线过点，，
，解得，
抛物线为；
（2）解：存在，理由如下：
，，
，
若，
则轴或轴，
又点在抛物线上，
轴，
作轴交抛物线于点，
当时，，解得，，
；
（3）解：时，，
解得，，
，故，
记过点、、的圆的圆心为点，
则点在线段的垂直平分线上，故可设，
同理，点在线段的垂直平分线上，
又轴于点，
设，则，
，
，
，
即：①，
又点在抛物线上，
，即：②，
将②代入①得：
，
，
，即：，
，
法二（3）
连接，
当时，，
解得，，
，故，
，，
，
，即：，
设，则，
，，，
，
，
.
25. 在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
（3）若G，H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形EGFH为菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G，H分别是AB，DC中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
根据题意得∶AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG和△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连接GH，如图，
由（1）得：BG＝CH，BG∥CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH＝BC＝4，
当EF＝GH＝4时，平行四边形EGFH是矩形，
分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5；
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5；
综上所述：当t为0.5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形．
（3）解：连接AG、CH，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∴OA＝OC，
∴四边形AGCH是平行四边形,
∵AG＝AH，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝4﹣x，
由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝4﹣＝，
∴AB+BG＝3+＝，
即t为s时，四边形EGFH为菱形．