【数学】天津市南开区2024-2025学年高二上学期阶段性质量监测试题（二）（解析版）

这是一份【数学】天津市南开区2024-2025学年高二上学期阶段性质量监测试题（二）（解析版），共11页。试卷主要包含了 已知数列的前几项为， 数列满足，其前项积为，则等于， 已知数列满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一､选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，数列的前几项为：…，
即，，，，
故数列的一个通项公式可以为.
故选：B.
2. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A. 2B. 4C. D. 6
【答案】D
【解析】由双曲线的方程为，
可得，
再由，
所以双曲线的焦距为，
故选：D.
3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程变形得：，
该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：，
故选：A.
4. 已知等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 27
【答案】C
【解析】在等差数列中，，解得 ，
所以.
故选： C.
5. 在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
则，
又异面直线与所成角为锐角，
则异面直线与.所成角的余弦值为.
故选：B.
6. 数列满足，其前项积为，则等于（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】A
【解析】因为，
所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，；…，
所以数列是以为周期的周期数列，
所以，
所以.
故选：A.
7. 已知等差数列的前项和为，若 ，则（ ）
A. 8B. 12C. 14D. 20
【答案】D
【解析】因等差数列的前项和为，由可得，
则组成首项为2，公差为2的等差数列，
则.
故选：D.
8. 与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A. 2条B. 3条C. 4条D. 6条
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为1，
由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；
当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，
圆心到直线的距离，解得，此时满足条件的直线有两条，
综上可得：满足条件的直线有两条，
故选：A.
9. 已知数列满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因，
则
，
则，
因函数在上单调递减，在上单调递增，
，，故当时的最小值为.
故选：C.
10. 已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中
①的最大值为；②的内切圆面积最大值为；
③为定值；④若为中点，则的方程为，
正确结论的个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴为。短半轴长为，半焦距为，
根据题意可得，，，，，，
∵，
当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立，
∴的最大值为，∴命题①正确；
设的内切圆的半径为，
则根据的等面积算法可得：，
∴，
当且仅当为短轴顶点时，等号成立，
∴的内切圆面积最大值为，∴命题②错误；
根据的内切圆的性质易得：，
∴，∴，∴命题③正确；
若中点，设，，
则，
两式相减可得：，
∴，∴，∴，
∴的方程为，即，
又，故点在椭圆内，
所以直线与椭圆相交，
所以直线满足条件，命题④正确.
故选：C.
第Ⅱ卷
二､填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上.
11. 直线的倾斜角为_______________.
【答案】
【解析】由题意，可知直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，解得，
即换线的倾斜角为.
12. 已知等比数列的公比，则等于__________.
【答案】
【解析】由题意知，，则.
13. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是__________.
【答案】；
【解析】由双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，
又因为双曲线经过点，所以，解得，
所以双曲线方程为.
14. 已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
15. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】根据对称性设A在第一象限，
设，分别为的中点,
所以,
因为，所以,即四边形为矩形，
,因为，则，
则，即，即，则，则左焦点，
右焦点，则，
解得，即，则双曲线的离心率为.
三､解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，由，得，①
由成等比数列，可得，即，②
由①②解得，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知
则.
17. 曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.
解：（1）因为曲线上的点到的距离与到的距离相等，
所以轨迹为焦点在轴上，以为焦点的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，直线的方程为，
联立得，
所以.
所以，解得，
所以直线的方程为.
18. 已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）因为，
当时，，得，
当时，则，
两式相减得，，即，
且，可知数列为等比数列，公比，所以.
设等差数列的公差为，
因为，且，解得，
所以.
（2）由（1）知，
设的前项和为
则
.
19. 如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面，
（1）求证：；
（2）求到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：由题可知两两互相垂直，
所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴，
建立如图的空间直角坐标系.
又为棱的中点，
易知.
所以，
所以，所以.
（2）解：由（1）知，
设平面的一个法向量为，
则有，
取时，.
又因为，
所以到平面的距离.
（3）解：由（1）知，
设平面的一个法向量为，
则有，取时，.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20. 已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分.
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值.
解：（1）由直线将的面积分为两部分，
得，所以，
从而.①
由为椭圆上的点，得，②
由①②解得，故椭圆的方程为；
（2）设，
由，得
由，得，且，
，
由为的中点，且，得，
即，化简得，
代入（1）中有，，可得，
令，
有.
由函数单调递增，
故当时，为的最小值.