2025届河南省创新发展联盟高三下学期9月联考（二）-数学试题（含答案）

这是一份2025届河南省创新发展联盟高三下学期9月联考（二）-数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
024-2025 年度河南省高三年级联考（二）
数学
注意事项：
1
2
.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3
4
.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，
不等式.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1
.已知集合 A x 2  x 1， B x a  x  a  3.，若 A B x 1 x  5，则 a （
）
A.0
B.1
C.2
D.3
2
.已知符号）（表示不平行，向量 a  (1,2) ，b  (m,m  7) .设命题 p :m(0,) ， a ）（b ，则
（
）

A. p :m(0,) ， a//b ，且 p 为真命题

B. p :m(0,) ， a//b ，且 p 为真命题

C. p :m(0,) ， a//b ，且 p 为假命题

D. p :m(0,) ， a//b ，且 p 为假命题
3
.若 a |b | 0，则下列结论一定成立的是（
）
1
ab2
1
a2b  ab2
B.

C.
a
3
 b3
D.
a  c  c b
A.
a
2
b
.已知等比数列a 的前 n 项和为 S ，且 S  ma ，则“ m  7 ”是“a 的公比为 2”的（
4
）
n
n
3
1
n
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
C.充要条件
5
.已知函数 f (x)  lg3 x ，若b  a  0，且 a，b 是 f (x) 的图像与直线 y  m(m  0) 的两个交点对应的
横坐标，则 4a  b 的最小值为（
A.2 B.4
.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块
）
C.6
D.8
6
直角三角板拼出的一个几何图形，其中| AB || AC |，| BD || BC |， BD BC  0 .连接 AD，若


AD  xAB  yAC ，则 x  y  （
）
3
2
A.1
B.2
C. 2
D.


π
π 
6 


7
.若 a  0 ，
sin x   ax2  bx  c  0 x[0,8]恒成立，则（
对
）
6
A. a  0
B.b  c  0
C. c  0
D.b  c  16a
8
.已知 A 是函数 ( )
f x  x
ex 3图象上的一点，点

B
在直线l : x  y 3  0 上，则| AB |
的最小值是
（
）
7
2e  2
A.
B.3
C. 2 2
D.3 2
2
e
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
.设数列a ，b 的前 n 项和分别为 S ，T ，且
b 
n
9
3a
n
，则下列结论不正确的是（
）
n
n
n
n
A.若a 是递增数列，则S 是递增数列
n
n
B.若a 是递减数列，则S 是递减数列
n
n
C.若a 是递增数列，则T 是递增数列
n
n
D.若a 是递减数列，则T 是递减数列
n
n
1
0.已知 f (3x 1) 为奇函数， f (3) 1，且对任意 xR ，都有 f (x  2)  f (4  x)，则必有（
）
A. f (11)  1
B. f (23)  0
C. f (7)  1
D. f (5)  0
1
1.已知函数 f (x)  sin x  sin 3x ，则（
）
A. f (x) 的图象关于点 (π,0)中心对称
π
B. f (x) 的图象关于直线 x  对称
4


8 3 8 3 
C. f (x) 的值域为 
,

9
9 


π 3π
D. f (x) 在  ,  上单调递增
2 4 

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
1
2.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a 1，b  3 ， csC  ，则△ABC 外接圆的
3
面积是__________.
1
3.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型C  C0ek(t1)
，
其中C0 是初始浓度（即t 1时该污染物的浓度）， k 是常数.第 2 天（即t  2）测得该污染物的浓度为 5
摩尔/升，第 4 天测得该污染物的浓度为 15 摩尔/升，若第 n 天测得该污染物的浓度变为 27C0 ，则 n 
_
1
_________.
4.1796 年，年仅 19 岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等
16
2

分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为 ，则

k
k1 1 tan2
2
_
_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
5.（13 分）
4
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， cs A  ， 2acsC  3ccs A.
5
（
（
1）求sinC 的值；
2）若 a  3，求△ABC 的周长.
1
6.（15 分）
已知函数 f (x)  Asin(x )  b(A  0,  0,0   π) 的部分图象如图所示.

（
（
1）求 f (x) 的解析式；
2）求 f (x) 的零点；
π
 7π
个单位长度，得到函数 g(x) 的图象，求 g(x) 在 0,  上的值
（3）将 f (x) 图象上的所有点向右平移1
2
 12 
域.
1
7.（15 分）
a3x
已知函数 f (x) 
，且 f lg 3 f lg 12 2 .
x
 3
6
6
3
（
（
1）求 a 的值；
f x2  3x 1 0
2）求不等式 

的解集.
2
1
8.（17 分）
已知函数
f (x)  (ax  2) ln(x 1)  x2  2x
.
（
（
1）当 a  0 时，求 f (x) 的单调区间与极值；
2）当 x  0时， f (x)  0恒成立，求 a 的取值范围.
1
9.（17 分）
设数列a 的前 n 项和为 S ，若对任意的 nN ，都有 S  kS （ k 为非零常数），则称数列a 为
n
n

2n
n
n
“
（
和等比数列”，其中 k 为和公比.
1）若 a  2n 3 ，判断a 是否为“和等比数列”.
n
n
n
2）已知b 是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且b 是“和等比数列”， c 
，数列cn的前
（
n
n
n
2b
n 项和为Tn .
求bn的和公比；
①
②
求Tn ；

3
22n1
n  4
T 
n
 (1)
n
m 
2 对任意的
nN
恒成立，求 的取值范围.
m
③
若不等式

2
024-2025 年度河南省高三年级联考（二）
数学参考答案

a 1,
1
.C 由题意可得 A x 1 x  3.因为 A B x 1 x  5，所以 
，解得 a  2 .
a  3  5



2
3
.A p :m(0,) ， a//b ，当 (m  7)  2m ，即 m  7 时， a//b ，所以 p 为真命题.
.B 当 a  3，b  2 时，
a2b  18,ab2 12
a2b  ab2
，此时 ，则 A 错误.
1
1
ab2
1
因为 a |b | 0，所以 a  b ，且 ab  0 ，所以
 0 ，所以

，则 B 正确.
a
2
b
2
a
2
b
当 a  2 ，b  1时，
a
3
 8,b3  1，此时
a
3
 b3
，则 C 错误.
当 a  2 ，b 1， c  3时， a  c  1， c b  2，此时 a  c  c b ，则 D 错误.


4
.A 设an的公比为 q ，则
S  a  a  a  1 q  q2 a  ma
.
3
1
2
3
1
1
因为 a1  0 ，所以
1
 q  q2  m
.
由 m  7 ，得1 q  q2  7
，即
q
2
 q  6  0
，解得
q  2 或 q  3.
由 q  2 ，得 m  7 ，则“ m  7 ”是“an的公比为 2”的必要不充分条件.
1
5
.B 由题意可得 0  a 1 b ，b  ，则 4a  b  4 ，当且仅当 4a  b  2 时，等号成立.故 4a  b 的最
a
小值为 4.
6
.A 如图，以 A 为原点， AB ， AC 的方向分别为 x，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设 AB 1，则
A(0,0) ， B(1, 0) ，C(0,1)，故 AB  (1,0)， AC  (0,1).
作 DF  AB ，交 AB 的延长线于点 F .设| AB |1，则| BF || DF |1，
所以 D(2,1)，所以 AD  (2,1) .因为 AD  xAB  yAC ，所以 x  2, y 1，则 x  y 1.
π
π
 π 7π
 π
π 
7
.B 因为 x[0,8]，所以 x   ,  .当 x[0,1) 时，sin x    0 ；当 x1,7时，
6
6
 6 6   6 6 



π
π 
6 
 π
 6
π 
6 
 π
 6
π 

sin x    0 ；当 x(7,8]时，sin x    0 .因为sin x   ax2  bx  c  0对 x[0,8]
6
6 

b
1 7   ,


a
恒成立，所以 1，7 是
ax2  bx  c  0的两根，且 a  0，则
故b  8a  0 ， c  7a  0
，
1
7  c
,



a
b  c  15a ，b  c  a  0 .
f  x  x 
8
.D 由题意可得   ( 1)ex .设
g(x)  f x
，则
gx (x  2)ex x  1时， f x 0
，当
，当
x  1时， gx 0 ， f x单调递增.因为 f (0) 1，所以 f x (x 1)ex 1，得 x  0，此时
3
 3
A(0,3)，故| AB |min

 3 2 .
2
9
.ABD 当 a  n  7 时，a 是递增数列，此时S 不是递增数列，则 A 错误.当 a  n 12 时，
n
n
n
n
an是递减数列，此时 不是递减数列，则 B 错误.由 是递增数列，得 是递增数列，且
S
a
n
b
n
n
b  0，则T 是递增数列，故 C 正确.由a 是递减数列，得b 是递减数列，且b  0，则T 是递
n
n
n
n
n
n
增数列，故 D 错误.
0.CD 由 f (3x 1) 为奇函数，可得 f (3x 1)   f (3x 1) ，则 f (x) 的图象关于点 (1, 0) 对称.又
1
f (x  2)  f (4  x)，所以 f (x) 的图象关于直线 x  3对称，则 f (x) 是以 8 为周期的周期函数，所以
f (7)   f (3)  1， f (5)  f (1)  0 ， f (11)  f (3) 1， f (23)  f (7)  1，故选 CD.
1
1.ACD 因为 f (π  x)  f (π  x)  sin(π  x)  sin 3(π  x)  sin(π  x)  sin 3(π  x)  0 ，所以 f (x)
的图象关于点 (π,0)中心对称，则 A 正确.
由题意可得 f (x)  sin x  sin 3x  2sin 2xcs x ，则


π


 π
 2


 π
 4


 π
 4


f   x  2sin  2xcs  x  2cs 2xcs  x，
4


π


 π
 2


 π
 4


 π
 4


 π
 4


 π
 4


f   x  2sin  2xcs  x  2cs 2xcs  x ，所以 f   x  f   x ，所以
4
π
f (x) 的图象不关于直线 x  对称，则 B 错误.由题意可得 f (x)  2sin 2xcs x  4sin x  4sin3 x .设
4
t  sin x[1,1]，则 y  g(t)  4t3  4t ，故 g(t)  12t
2
 4  43t 1.由 g(t)  0，得
2


3   3 
3
3
3
3

 t 
；由 g(t)  0，得 1 t  
或
 t 1，则 g(t)在 1,
,1 上单调递
 和
3   3
3
3
3
3



3 




3
3
8 3
9
3
8 3
减，在
,
上单调递增.因为 g(1)  g(1)  0， g 
  
3 
， g 
 
，所以
3
3 
3 
9




8 3 8 3 


8
3 ,8 3


π 3π

g(t)
,
 ，即 f (x) 的值域是 
 ，则 C 正确.当 x ,  时，
9
9 
2 
9
9 
2 4 






π 3π

3
t  sin x
,1 .因为t  sin x 在  ,  上单调递减，且 g(t)在 
,1 上单调递减，所以 f (x) 在
2

2 4 
 3





π 3π
2 4 
,
 上单调递增，则 D 正确.

9
π
1
1
c
2
 a2  b2  2abcsC 1 9  213  8
，则
c  2 2
.因为
csC 
，
1
2.
由余弦定理可得
4
3
3
2
2
c
3
2
9π
所以sinC 
，则△ABC 外接圆的半径 R 

，故ABC 外接圆的面积为
πR2

.
3
2sinC
4

C0ek
 5,
ln3 (n1)
ln3
1
3.7 由题意可得

则
e2k  3，解得 k 
.因为C0ek(n1)
 27C0 ，即C0e
2
 27C
，所
0
C0e3k 15,

2
ln3
ln3
(n1)
以 e
2

27 ，所以
(n 1) ln 27 3ln3，解得 n 7 .
 


2
2
π
k
kπ
1
1
4.15 由题可知 
，则1 tan2
1 tan2

，
kπ
1
7
2
17
cs2
1
7
16
2
16
kπ 
16


2kπ 
16
2kπ



则

2
cs2

1 cs
 16  cs
.
k
17
17

17
k1 1 tan2
k1
k1
k1
2
π 16
2kπ 16  (2k 1)π
(2k 1)π
  sin
33π
π
π
由 2sin17

cs

sin
sin
sin  2sin
17
，
17

17
17

17
17
k1
k1
16
2kπ

得
cs
 1，故原式 16 1 15.

 
1
7
k1
2
4

4

3
5
1
5.解：（1）因为 cs A  ，且 0  A  π ，所以sin A  1   
.
5
 5 
因为 2acsC  3ccs A，所以 2sin AcsC  3sinC cs A，
3
4
所以 2 csC  3 sinC ，即 csC  2sinC .
5
5
1
5
因为sin C  cs2 C 1，所以sin2 C 
2
.

5
因为 0  C  π ，所以sinC 
.
5
3
4
5
2 5
5
（
2）由（1）可知sin A  ， cs A  ，sinC 
， csC 
，
5
5
5
3
2 5
4
5
2 5
5
则sin B  sin(A C)  sin AcsC  cs AsinC  
 

.
5
5
5
5
a
b
c
由正弦定理可得


，
sin A sin B sinC
asin B
asinC
则b 
 2 5 ， c 
 5 ，故△ABC 的周长为 a  b  c  3 3 5 .
sin A
sin A
3
 (1)
3 (1)
1
6.解：（1）由图可知 A 
 2，b 
1，
2
2


7π π 
  π.因为T 
2π
| |
f (x) 的最小正周期T  2

，且  0 ，所以  2 .
12 12 


π

 π 
12 


π


因为 f (x) 的图象经过点 ,3 ，所以 f    2sin2   1 3，
12 
12


π


π
π
π
即sin   1，所以   2kπ  (k Z) ，即  2kπ  (k Z) .
6
6
2
3
π


π 
3 
因为 0   π ，所以  .故 f (x)  2sin2x   1.
3


π 
3 
1
π
π
π
5π
（
2）令 f (x)  0，得sin2x     ，则 2x   2kπ  (k Z) 或 2x   2kπ  (k Z)，
2
3
6
3
6
π
7π
π
7π
解得 x  kπ  或 kπ 
(k Z) ，故 f (x) 的零点为 kπ  或 kπ 
(k Z) .
4
12
4
12



π  π
12  3


π 
6 
（
3）由题意可得 g(x)  2sin 2 x     1 2sin2x   1.



7π
12 
π
π 4π
6 3 
因为 x0,  ，所以 2x   ,  .
6
π
π
π
 π 
 6 
当 2x 


，即 x  时， g(x) 取得最大值 g    3；
6
2
6
π
4π
7π
 7π 
 1 3 .
 12 
当 2x 
，即 x 
时， g(x) 取得最小值 g 
6
3
12



7π
故 g(x) 在 0,  上的值域为 1
12 



3,3 .
a3x
a32x
9a
32x  3 3x1  9
3a
1
7.解：（1）因为 f (x) 
，所以 f (2  x) 


，
3
x
 3
3
x
 3
a3x
3a
则 f (x)  f (2  x) 
 3  3x  3
 a .
3
x
又 lg 3 lg 12  lg 36  2，所以 f lg 3 f lg 12 a ，从而 a  2 .
6
6
6
6
6
2
3x
 3
6
 3
（
2）由（1）可知 f (x) 
 2 
，显然 f (x) 在 R 上单调递增.
3
x
3
x
1




因为 f (0)  ，所以由
2
f x2  3x 1 0
，可得
f x2  3x  f (0)
，
2
x
2
 3x  0
，解得
x  3 或 x  0，
则

2
f x2  3x 1 0
故不等式 
的解集为
(,3)  (0,)
.
1
8.解：（1）当 a  0 时，
f (x)  2 ln(x 1)  x2  2x
，其定义域为
(1,)
，
2
x 1
x2  2x x(x  2)
则 f x 
 2x  2 

.
x 1
x 1
当 x(1, 0) 时， f x 0 ， f x的单调递增区间为 (1,0)，
当 x(0,) 时， f x 0 ， f x的单调递减区间为 (0,)，
故 f (x) 的极大值为 f (0)  0 ，无极小值.
2）设t  x 1，t [1,)，
g(t)  (at  2  a)lnt t
2
1，t [1,)
，则
（
2
 a
g(t)  alnt 
 2t  a .
t
a
2  a
2t  at  a  2
2
设 h(t)  g(t) ，则 h(t) 

 2 
.
t
t
2
t
2
a
m(t)  2t
2
 at  a  2
，则函数
m(t) 的图象关于直线t 
对称.
设
4
①
当 a  2 时， m(t) 在[1,)上单调递减.
因为 m(1)  2a  4  0，所以
m(t)  2t
2
 at  a  2  0在[1,)
h(t)  0 在[1,)
上恒成立，即 上恒
成立，则 h(t) 在[1,)上单调递减，即 g(t) 在[1,)上单调递减，


所以 g(t)  g(1)  0，所以 g(t)在[1,)上单调递减，则 g(t)  g(1)  0，即 f (x)  0在[0,)上恒成
立，故 a  2 符合题意.
②
当 a  2 时， m(t) 在[1,)上单调递减或在[1,)上先增后减，
因为 m(1)  2a  4  0，所以存在t 1，使得 mt  0 .
0
0
当t 1,t 时， m(t)  0，即 h(t)  0，所以 g(t) 在1,t 上单调递增.
0
0
因为 g(1)  0，所以 g(t)  0在1,t 上恒成立，所以 g(t)在1,t 上单调递增，则 g t  g(1)  0，故
0
0
0
a  2 不符合题意.
综上， a 的取值范围为 (,2].
1
9.解：（1）因为 an  2n 3 ，所以 an1  2n 1，所以 an1  an  2 .
因为 a  1，所以a 是首项为-1，公差为 2 的等差数列，
1
n
S2n
Sn
4n2  4n 4n  4
则
S  n2  2n
n
，所以
S  4n2  4n
2n
，所以


.
n2

2n
n  2
4
n  2
n  4
不是常数，所以an不是“和等比数列”.
因为
2）①设等差数列b 的公差为 d ，前 n 项和为 S ，
（
则
n
n
n(n 1)
d

d 
S  nb 
d 
n
2
 1 n
，所以
S  2dn2  (2  d)n
2n
.
n
1
2
2

2

kd


kd 
因为b 是“和等比数列”，所以 S  kS ，即
dn2  (2  d)n 
 k  n
2
n
2
，
n
2n
n
2
2


kd
2d 
,

k 
4,
2
 
所以 
解得 
即 bn 的和公比为 4.
d  2,
   kd
d
k
,


2


2
n
22n1
②
由①可知b 1 2(n 1)  2n 1，则 c 
，
n
n
1
2
2
3
n
2n
1
22
1
2
n 1
22n1 22n1
n
所以Tn 



，所以 Tn 



，
2
3
2
5
2
1
23 25

n

1
2

1


1  
  22  
3
1
2
1
1
1
22n1
n
22n1
n
22n1
所以 T 






，
n
3
5
1
4
2
2
1

2
2

3
2
3n  4
8
3n  4
即 T 

，所以T  
.
n

2n1
n

2n1
4
3 3 2
n  4
9 9 2
3n  4 3n  4 8 10 3n  4
3
22n1
8
③
设 P  T 
 

 

，
n
n

2n1
22n1
22n1
9 9 2
9
9
1
0 3n  7 10 3n  4 5(n 1)
P  P  




 0 .
n1
n
22n1
22n1
9
9
4n
3
22n1
n  4
T 
n
 (1)
n
m 
2 对任意的
nN
恒成立，即不等式
P  (1)n m  2
n
对任意的 恒成
nN
不等式


立.
当 n 为奇数时， m  2  Pn min  P1  3，则 m 1；
1
3
2
当 n 为偶数时， m  2  Pn min  P2   ，则 m 
.
2


3 
2 
综上， m 的取值范围是1,  .