河南省“创新发展联盟·金太阳”2025届高三9月联考（二）数学试卷（含答案）

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这是一份河南省“创新发展联盟·金太阳”2025届高三9月联考（二）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x||2−x|<1}，B={x|aA. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知符号)(表示不平行，向量a=(−1,−2)，b=(m,m+7).设命题p:∀m∈(0,+∞)，a)(b，则( )
A. ¬p:∃m∈(0,+∞)，a//b，且¬p为真命题
B. ¬p:∀m∈(0,+∞)，a//b，且¬p为真命题
C. ¬p:∃m∈(0,+∞)，a//b，且¬p为假命题
D. ¬p:∀m∈(0,+∞)，a//b，且¬p为假命题
3.若a>|b|>0，则下列结论一定成立的是( )
A. a2b>ab2B. 1ab2>1a2bC. a3c−b
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=ma1，则“m=7”是“{an}的公比为2”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数f(x)=|lg3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a+b的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中|AB|=|AC|，|BD|=|BC|，BD⋅BC=0.连接AD，若AD=xAB+yAC，则x−y=( )
A. 1B. 2C. 2D. 32
7.若a≠0，sin(π6x−π6)(ax2+bx+c)≥0对x∈[0,8]恒成立，则( )
A. a>0B. b+c>0C. c>0D. b−c=−16a
8.已知A是函数f(x)=xex+3图象上的一点，点B在直线l:x−y−3=0上，则|AB|的最小值是( )
A. 7 2e− 22eB. 3C. 2 2D. 3 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且bn=3an，则下列结论不正确的是( )
A. 若{an}是递增数列，则{Sn}是递增数列B. 若{an}是递减数列，则{Sn}是递减数列
C. 若{an}是递增数列，则{Tn}是递增数列D. 若{an}是递减数列，则{Tn}是递减数列
10.已知f(3x+1)为奇函数，f(3)=1，且对任意x∈R，都有f(x+2)=f(4−x)，则必有( )
A. f(11)=−1B. f(23)=0C. f(7)=−1D. f(5)=0
11.已知函数f(x)=sinx+sin3x，则( )
A. f(x)的图象关于点(π,0)中心对称B. f(x)的图象关于直线x=π4对称
C. f(x)的值域为[−8 39,8 39]D. f(x)在[π2,3π4]上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=3，csC=13，则△ABC外接圆的面积是．
13.已知某种污染物的浓度C(单位：摩尔/升)与时间t(单位：天)的关系满足指数模型C=C0ek(t−1)，其中C0是初始浓度(即t=1时该污染物的浓度)，k是常数.第2天(即t=2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为27C0，则n= ．
14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则k=11621+tan2kα2= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，csA=45，2acsC=3ccsA.
(1)求sinC的值;
(2)若a=3，求△ABC的周长．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的零点;
(3)将f(x)图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0,7π12]上的值域．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=a⋅3x3x+3，且f(lg63)+f(lg612)=2．
(1)求a的值;
(2)求不等式2f(x2+3x)−1>0的解集．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(ax+2)ln(x+1)−x2−2x．
(1)当a=0时，求f(x)的单调区间与极值;
(2)当x≥0时，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+，都有S2n=kSn(k为非零常数)，则称数列{an}为“和等比数列”，其中k为和公比．
(1)若an=2n−3，判断{an}是否为“和等比数列”．
(2)已知{bn}是首项为1，公差不为0的等差数列，且{bn}是“和等比数列”，cn=n2bn，数列{cn}的前n项和为Tn．
①求{bn}的和公比;
②求Tn;
③若不等式Tn−3n+422n−1>(−1)nm−2对任意的n∈N+恒成立，求m的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.A
5.B
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.CD
11.ACD
12.9π4
13.7
14.15
15.解：(1)因为csA=45，且0因为2acsC=3ccsA，所以2sinAcsC=3sinCcsA，
所以2×35csC=3×45sinC，即csC=2sinC.
因为sin2C+cs2C=1，所以sin2C=15
又因为0(2)由(1)可知sinA=35，csA=45，sinC= 55，csC=2 55，
则sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=35×2 55+45× 55=2 55
由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，则b=asinBsinA=2 5，c=asinCsinA= 5
故△ABC的周长为a+b+c=3+3 5．
16.解：(1)由图可知A=3−(−1)2=2，b=3+(−1)2=1，
f(x)的最小正周期T=2(7π12−π12)=π.因为T=2π|ω|，且ω>0，所以ω=2．
因为f(x)的图象经过点(π12,3)，所以f(π12)=2sin(2×π12+φ)+1=3，即sin(π6+φ)=1，所以π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，即φ=2kπ+π3(k∈Z)．
因为0<φ<π，所以φ=π3．
故f(x)=2sin(2x+π3)+1．
(2)令f(x)=0，得sin(2x+π3)=−12，则2x+π3=2kπ−π6(k∈Z)或2x+π3=2kπ−5π6(k∈Z)，
解得x=kπ−π4或kπ−7π12(k∈Z)，
故f(x)的零点为kπ−π4或kπ−7π12(k∈Z)．
(3)由题意可得g(x)=2sin[2(x−π12)+π3]+1=2sin(2x+π6)+1．
因为x∈[0,7π12]，所以2x+π6∈[π6,4π3]
当2x+π6=π2，即x=π6时，g(x)取得最大值g(π6)=3;
当2x+π6=4π3，即x=7π12时，g(x)取得最小值g(7π12)=1− 3．
故g(x)在[0,7π12]上的值域为[1− 3,3]．
17.解：(1)因为f(x)=a×3x3x+3，所以f(2−x)=a×32−x32−x+3=9a3x+1+9=3a3x+3，则f(x)+f(2−x)=a×3x3x+3+3a3x+3=a．
又lg63+lg612=lg636=2，
所以f(lg63)+f(lg612)=a，
从而a=2．
(2)由(1)可知f(x)=2×3x3x+3=2−63x+3，
显然f(x)在R上单调递增．
因为f(0)=12，所以由2f(x2+3x)−1>0，可得f(x2+3x)>f(0)，则x2+3x>0，解得x<−3或x>0，
故不等式2f(x2+3x)−1>0的解集为(−∞,−3)∪(0,+∞).
18.解：(1)当a=0时，f(x)=2ln(x+1)−x2−2x，其定义域为(−1,+∞)，
则f′(x)=2x+1−2x−2=−2x2−4xx+1=−2x(x+2)x+1．
当x∈(−1,0)时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，
故f(x)的极大值为f(0)=0，f(x)无极小值．
(2)设t=x+1，t∈[1,+∞)，g(t)=(at+2−a)lnt−t2+1，t∈[1,+∞)，则g′(t)=alnt+2−at−2t+a．
设ℎ(t)=g′(t)，则ℎ′(t)=at−2−at2−2=−2t2+at+a−2t2，
设m(t)=−2t2+at+a−2，则函数m(t)的图象关于直线t=a4对称．
①当a≤2时，m(t)在[1,+∞)上单调递减．
因为m(1)=2a−4≤0，所以m(t)=−2t2+at+a−2≤0在[1,+∞)上恒成立，即ℎ′(t)≤0在[1,+∞)上恒成立，
则ℎ(t)在[1,+∞)上单调递减，即g′(t)在[1,+∞)上单调递减，
所以g′(t)≤g′(1)=0，
所以g(t)在[1,+∞)上单调递减，则g(t)≤g(1)=0，即f(x)≤0在[0,+∞)上恒成立，故a≤2符合题意．
②当a>2时，m(t)在[1,+∞)上单调递减或在[1,+∞)上先增后减，
因为m(1)=2a−4>0，所以存在t0>1，使得m(t0)=0．
当t∈(1,t0)时，m(t)>0，即ℎ′(t)>0，所以g′(t)在(1,t0)上单调递增．
因为g′(1)=0，所以g′(t)>0在(1,t0)上恒成立，所以g(t)在(1,t0)上单调递增，则g(t0)>g(1)=0，
故a>2不符合题意．
综上，a的取值范围为(−∞,2]．
19.解：(1)因为an=2n−3，所以an+1=2n−1，所以an+1−an=2，
因为a1=−1，所以{an}是首项为−1，公差为2的等差数列，
则Sn=n2−2n，所以S2n=4n2−4n，
所以S2nSn=4n2−4nn2−2n=4n−4n−2．
因为4n−4n−2不是常数，所以{an}不是“和等比数列”．
(2) ①设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An，
则An=nb1+n(n−1)2d=d2n2+(1−d2)n，
所以A2n=2dn2+(2−d)n．
因为{bn}是“和等比数列”，
所以A2n=kAn，即2dn2+(2−d)n=kd2n2+(k−kd2)n，
所以2d=kd2,2−d=k−kd2,解得k=4,d=2,，
即{bn}的和公比为4．
②由 ①可知bn=1+2(n−1)=2n−1，则cn=n22n−1，
所以Tn=12+223+325+⋯+n22n−1，
所以122Tn=123+225+⋯+n−122n−1+n22n+1，
所以34Tn=12+123+125+⋯+122n−1−n22n+1=12×[1−(122)n]1−122−n22n+1，
即34Tn=23−3n+43×22n+1，所以Tn=89−3n+49×22n−1．
③设Pn=Tn−3n+422n−1=89−3n+49×22n−1−3n+422n−1=89−109×3n+422n−1，
Pn+1−Pn=−109×3n+722n+1+109×3n+422n−1=5(n+1)4n>0．
不等式Tn−3n+422n−1>(−1)nm−2对任意的n∈N+恒成立，
即不等式Pn>(−1)nm−2对任意的n∈N+恒成立．
当n为奇数时，−m−2<(Pn)min=P1=−3，则m>1;
当n为偶数时，m−2<(Pn)min=P2=−12，则m<32．
综上，m的取值范围是(1,32).

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