【数学】河南省新未来2024-2025学年高二上学期1月期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】河南省新未来2024-2025学年高二上学期1月期末考试试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ）
A. 24B. 36C. 64D. 81
【答案】C
【解析】不同方法的种数是：．
故选：C．
2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
【答案】D
【解析】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
．
故选:D．
3. 已知圆：与圆：，则圆与圆的公切线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】圆：的圆心为，半径，
圆：的圆心为，半径，
所以，
则，所以圆与圆相交，所以圆与圆的公切线的条数为2．
故选：B．
4. 随机变量的分布列如下，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得解得
．
故选:C．
5. 已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记椭圆的左焦点为，连接，
又点是线段的中点，为的中点，所以，
又，所以，在椭圆中，，
又点是上的一点，所以，所以．
故选：A．
6. 已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设点关于直线的对称点为，
则中点在直线上，即①，
直线与直线垂直，即②，
解得，即点关于直线的对称点为，
又，所以，
所以直线的方程为，即，
由，解得，，
所以当取得最小值时，点的坐标为．
故选：B．
7. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（ ）
（附：若，则，，
A. 0.1359B. 0.01587C. 0.0214D. 0.01341
【答案】C
【解析】根据题意在上单调递减，可得，故，，，
所以
.
故选：C.
8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，
则，而，因此，，
则，令与的半焦距为，
由，得，于是，解得，则，
，所以的渐近线方程为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于的展开式的说法中正确的是（ ）
A. 各项的系数之和为B. 二项式系数的和为64
C. 展开式中无常数项D. 第4项的系数最大
【答案】AC
【解析】由，令得：，
即各项的系数之和为，故A正确；
由二项式系数的和为：，故B错误；
因为，
所以当时，不符合题意，所以无常数项，故C正确；
在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，故D错误．
故选：AC．
10. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以，A正确；
因为，，所以，B错误；
因此，，C正确；
从而．D正确．
故选：ACD.
11. 已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为16
D. 若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为
【答案】ACD
【解析】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，得，
所以，，，故A正确，B错误；
，
所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确；
因为，所以，所以的外心就是弦的中点，
记为，其中，．
由，以及，
得，
即，所以直线斜率．
要求直线的斜率的最大值，所以，
所以，当且仅当，
即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．
【答案】90
【解析】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则
当0排在第6位时，共有（个）数；
当0排在第5位时，共有（个）数；
当0排在第4位时，共有（个）数，
故这样的七位数共有（个）．
13. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为_______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以点到直线的距离为．
14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，
由双曲线的对称性可知为线段的中点，
则，
所以．
由直线的斜率，得，
则直线的斜率．
设，，则
两式相减，得，
化简得，
即，
所以该双曲线的离心率．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，
（1）求的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
解：（1）因为，
所以，
当为奇数时，此方程无解，
当为偶数时，方程可化为，
解得；
（2）由通项公式，
当为整数时，是有理项，
则，
所以有理项为．
16. 如图，已知在三棱锥中，平面，，，为线段上一点，，为的中点，．
（1）试确定点的位置；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）由平面，，得直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由，得，则，
设，则，
于是，，
由，得，解得，
所以点在线段上且.
（2）由（1）知，，，，
设平面的法向量，则，
取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名.
（1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；
（2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差.
解：（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数，
这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，
设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，
表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”，
，互斥，且，
，，
选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为；
（2）由于从6名医生中任选3名的结果为，
从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人，
恰有名外科医生的概率为，
所以，，，
.
18. 已知抛物线的焦点为F，过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点．当直线l的方程为时，，．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）证明：直线是的外角平分线．
（1）解：设M，N的坐标分别为，，
由抛物线的定义有，，
可得，，
联立方程消去y后整理为，
有，有，
整理为，
解得或（舍去），
故抛物线C的标准方程为；
（2）证明：直线l的斜率为，
直线l的方程为，
代入后整理为，
令，得．可得点P的坐标为，
焦点F的坐标为，直线的方程为，
整理为，
点P到直线的距离为
，
同理点P到直线的距离为，
由及直线l与抛物线C的位置关系，可得直线是的外角平分线．
19. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，．
（1）求的标准方程；
（2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程；
（3）记直线与直线的交点为，求的最小值．
解：（1）由题意知，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意知直线的方程为，设，，
由，得，
所以，解得，
所以，，
所以，
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或，所以或或或，
所以直线的方程为或或或；
（3）由题意知直线的方程为，设，，
由，得，
所以，解得，
所以，，
设，因为，，在同一条直线上，
所以，
又，，在同一条直线上，所以，
所以，
所以，所以点在直线上，
所以．0
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