【数学】甘肃省多校2024-2025学年高二上学期期末联考试卷（解析版）

这是一份【数学】甘肃省多校2024-2025学年高二上学期期末联考试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 数列一个通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A选项，当时，，故A错误；
B选项，当时，，当时，，
当时，，当时，，故B正确；
C选项，当时，，故C错误；
D选项，当时，，故D错误．
故选：B．
2. 若直线与平行，则（ ）
A. B. 2C. －5D. －5或2
【答案】C
【解析】因为直线与平行，
所以，解得或，
当时，，重合，不符合题意，所以舍去．所以．
故选：C．
3. 已知圆与圆内切，则（ ）
A. B. ±2C. D.
【答案】C
【解析】由圆与圆内切，可得，即，．
故选：C.
4. 已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，，解得，所以实数的取值范围是．
故选：A．
5. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ）
A. 108种B. 90种C. 72种D. 36种
【答案】A
【解析】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；
第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案，
综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案.
故选：A.
6. 等比数列的前项和，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】因为，当时，，
当时，，故，
当时，，从而，
由于是等比数列，故，显然且，解得，
所以．
故选：C．
7. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由抛物线C：，得焦点，设，
所以，由，
解得，所以，所以.
故选：D.

8. 已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A. 479B. 480C. 291D. 290
【答案】B
【解析】因为是数列的前项和，，且数列是公差为1的等差数列，令，可得，所以，
所以．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式所有系数和为1B. 展开式的第4项二项式系数最大
C. 展开式中不含项D. 展开式的常数项为240
【答案】ABD
【解析】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确；
对于B选项：因为指数为偶数，即，
所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确；
展开式通项为，
对于C选项： 令，解得，
所以展开式中含项，故C错误；
对于D选项：令，可得，
故展开式中常数项为，故D正确.
故选：ABD.
10. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A. 若A，不相邻，有72种排法B. 若A，不相邻，有48种排法
C. 若A，相邻，有48种排法D. 若A，相邻，有24种排法
【答案】AC
【解析】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误；
A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：AC.
11. 设为双曲线右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O： 交于，两点，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 曲线的离心率为
B. 圆心到双曲线的渐近线的距离为
C. 所在直线方程为
D. 直线被双曲线的渐近线截得的线段长为
【答案】ACD
【解析】依题意，以为直径的圆M：，
与圆O： 联立得，
，故由知，垂直x轴，也是圆M的一条直径，过圆心，即，故，即，故A正确；
由知，双曲线的渐近线为，
圆心到双曲线的渐近线的距离为，故B错误；
，垂直x轴，故所在直线方程为，故C正确；
由代入双曲线的渐近线得，故截得的线段长为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若点是圆外的一点，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，
又点是圆外的一点，
所以，解得，即的取值范围是．
13. 已知等差数列的前项和为，且，，则_____．
【答案】
【解析】因为等差数列的前项和为，
所以，，，成等差数列，
所以，解得，
所以，所以，解得.
14. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．

【答案】
【解析】设，
则由条件及椭圆的定义可知：，
在中，
根据余弦定理可知，
解之得或（舍去），
则，
即，
解之得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．
解：（1）联立方程，解得
所以圆的圆心的坐标为，
又由圆与直线相切，可得圆的半径为，
可得圆的标准方程为；
（2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切，
①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，合题意；
②当直线斜率存在时，设，即，
根据圆心到切线距离等于半径可得，得，
所以此时直线的方程为，
综上，直线的方程为或．
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
解：（1）因为，令得，
因为，所以，
两式相减得，
又满足上式，所以；
（2）由（1）可得，
所以．
17. 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3．
（1）求的标准方程；
（2）设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
（1）解：根据题意得，解得，
的标准方程为；
（2）证明：由（1）得，，设点，
则，，
，，
，
为定值．
18. 在的展开式中．
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
（3）求系数最大的项．
解：（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，；
（2）的展开式的通项为
，，，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，
解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项；
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，
第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项．
19. 已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点.
（1）求的方程；
（2）若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值；
（3）若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
解：（1）因为点是抛物线上的一点，
所以，解得，所以的方程为；
（2）显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则直线的方程为，
由，得，
则，
所以，解得，
同理可得，
所以，
即直线的斜率为定值，该定值为；
（3）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
设，，
由，得，
所以，，，
所以，
，
因为，所以，
所以，
即，所以，
所以或，即或，
若，则，，
则，过定点，与点重合，不符合题意；
若，则，，
则，过定点，
综上，直线过定点.