2024-2025学年甘肃省多校高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省多校高二上学期期末联考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列−2,,4,−263,20…的一个通项公式可以是( )
A. an=−1n⋅2nB. an=−1n⋅3n−1n
C. an=−1n⋅2n+1−2nD. an=−1n⋅3n−nn
2.若直线l1:mx+2y−2=0与l2:5x+(m+3)y−5=0平行，则m=( )
A. −67B. 2C. −5D. −5或2
3.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x+b2+y+22=25内切，则b=( )
A. ± 3B. ±2C. ± 5D. ± 2
4.已知曲线x22m−3+y2m−5=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A. 32,5B. 5,+∞
C. −∞,32D. −∞,32∪5,+∞
5.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有( )
A. 108种B. 90种C. 72种D. 36种
6.等比数列{an}的前n项和Sn=a⋅3n−2b，则a2−b=( )
A. −2B. −32C. 0D. 32
7.已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，PF=10，过点P作y轴的垂线，垂足为P′，则P′F=( )
A. 2 5B. 2 7C. 4 5D. 4 7
8.已知Sn是数列an的前n项和a1=2，a2=3，数列an+an+1是公差为1的等差数列，则S40=( )
A. 479B. 480C. 291D. 290
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于二项式1x2−2x6的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式的所有系数和为1B. 展开式的第4项二项式系数最大
C. 展开式中不含x3项D. 展开式的常数项为240
10.A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是( )
A. 若A，B不相邻，有72种排法B. 若A，B不相邻，有48种排法
C. 若A，B相邻，有48种排法D. 若A，B相邻，有24种排法
11.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆M与圆O：x2+y2=a2交于P，Q两点，若|PQ|=|OF|，则下列选项正确的是( )
A. 曲线C的离心率为 2
B. 圆心M到双曲线C的渐近线的距离为 2a
C. PQ所在直线方程为x= 2a2
D. 直线PQ被双曲线的渐近线截得的线段长为 2a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点P2,2是圆C:x2+y2−2y+3−m=0外的一点，则m的取值范围是 ．
13.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S8=12，S12=15，则S16= ．
14.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|=2|PF2|，cs∠PF2Q=14，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，直线y=−x+3与y=2x−3的交点是圆C的圆心，直线y=43x与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,3)的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．
16.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2n∈N∗．
(1)求an的通项公式；
(2)记bn=2anan+1，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，C上的点到其一个焦点的距离的最大值为3．
(1)求C的标准方程；
(2)设A，B为C的左、右顶点，P(异于左、右顶点)为C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．
18.(本小题12分)
在 x−2x28的展开式中．
(1)求二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项．
19.(本小题12分)
已知点P1,2是抛物线C:y2=2pxp>0上的一点，点M，N是C上异于点P的不同的两点．
(1)求C的方程；
(2)若直线PM，PN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值，并求出此定值；
(3)若直线PM⊥PN，试判断直线MN是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.A
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.AC
11.ACD
12.2,7
13.16
14. 105
15.解：(1)联立方程y=−x+3y=2x−3，解得x=2y=1,
可得圆C的圆心的坐标为(2,1)，
又由圆C与直线y=43x相切，可得圆C的半径为r=43×2−1 1+(43)2=1，
可得圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=1;
(2)由直线l与圆C有且只有一个公共点，可得直线l与圆C相切，
①若斜率不存在，此时直线l方程为：x=1，与圆C相切;
②当直线l与圆相切斜率存在时，设l:y=k(x−1)+3，即kx−y+3−k=0，
根据圆心到切线距离等于半径可得|2+k| 1+k2=1，解得k=−34，
所以此时直线l的方程为3x+4y−15=0，
综上，直线l的方程为x=1或3x+4y−15=0．
16.【详解】(1)因为Sn=n2，令n=1得a1=1，
因为Sn=n2，所以Sn−1=n−12，
两式相减得an=2n−1n≥2，
又a1=1满足上式，所以an=2n−1；
(2)由(1)可得bn=2anan+1=22n−12n+1=12n−1−12n+1，
所以Tn=11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．

17.【详解】(1)根据题意得ca=12,a+c=3,a2=b2+c2解得a=2,b= 3,c=1,
∴C的标准方程为x24+y23=1；
(2)证明：由(1)得A−2,0，B2,0，设点Px0,y0，
则x024+y023=1，y02=3−34x02，
k1=y0−0x0−−2=y0x0+2，k2=y0−0x0−2=y0x0−2，
k1⋅k2=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=3−34x02x02−4=344−x02x02−4=−34，
∴k1⋅k2为定值．

18.【详解】(1)二项式系数最大的项为中间项，即第5项，T5=−24C84x−6=1120x−6；
(2) x−2x28的展开式的通项为
Tr+1=C8r x8−r−2x2r=−2rC8rx4−52r，r≤8，r∈N，
设第r+1项系数的绝对值最大，显然00，
所以yMyP=8−4kk，解得yM=4−2kk，
同理可得yN=−4+2kk，
所以kMN=yM−yNxM−xN=yM−yNyM24−yN24=4yM+yN=44−2kk+−4+2kk=−1，
即直线MN的斜率为定值，该定值为−1；
(3)显然直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my+n，
设Mx1,y1，Nx2,y2，
由y2=4xx=my+n，得y2−4my−4n=0，
所以Δ=16m2+16n>0，y1+y2=4m，y1y2=−4n，
所以x1+x2=my1+y2+2n=4m2+2n，
x1x2=my1+nmy2+n=m2y1y2+mny1+y2+n2
=m2×−4n+mn×4m+n2=n2，
因为PM⊥PN，所以PM⋅PN=x1−1x2−1+y1−2y2−2=0，
所以x1x2−x1+x2+1+y1y2−2y1+y2+4=0，
即n2−4m2+2n+1−4n−2⋅4m+4=0，所以n−32=4m+12，
所以n−3=2m+1或n−3=−2m+1，即n=2m+5或n=−2m+1，
若n=−2m+1，则x=my+n，x=my−2m+1，
则x=my−2+1，过定点1,2，与点P重合，不符合题意；
若n=2m+5，则x=my+n，x=my+2m+5，
则x=my+2+5，过定点5,−2，
综上，直线MN过定点5,−2．