2024-2025学年辽宁省普通高中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省普通高中高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数(4+i)−(1+5i)的虚部为( )
A. −4B. 4C. −4iD. 4i
2.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是( )
A. 两条相交直线确定一个平面B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面D. 直线及直线外一点确定一个平面
3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2 2，A=π4，sinC= 34，则c=( )
A. 62B. 6C. 32D. 3
4.已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，且m与n异面，则( )
A. l至多与m，n中的一条相交B. l与m，n均相交
C. l与m，n均平行D. l至少与m，n中的一条相交
5.已知p，q∈R，复数−2+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，则2p−q的值为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
6.若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A′C′//O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′=1，O′B′=2，则以原四边形AOBC的边AO为轴
旋转一周得到的几何体的体积为( )
A. 7 23π B. 14 23π
C. 6 2π D. 10 23π
7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得cs∠CBD= 33,CD=100 2米，在点C处测得塔顶A的仰角为30°，在点D处测得塔顶A的仰角为45°，则铁塔的高度为( )
A. 80米 B. 100米
C. 112米 D. 120米
8.已知四棱锥S−ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为 6的正方形，若四棱锥S−ABCD体积的最大值为6，则球O的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 20πD. 24π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 棱柱至少有五个面
C. 棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则( )
A. a≥bsinA
B. 若sinAa=2，则sinB+sinCb+c=2
C. 若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形
D. 若a= 2,b= 3,A=45°，则△ABC的形状能唯一确定
11.如图，在棱长为2的正方体中ABCD−A1B1C1D1，E为线段CC1的中点，F为线段A1B上的动点(含端点)，则下列结论正确的有( )
A. 过A，D1，E三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面的面积为92
B. 存在点F，使得平面EF/​/平面AD1C
C. 当F在线段A1B上运动时，三棱锥C−AFD1的体积不变
D. FA+FC的最小值为2 2+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面直径为______．
13.已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=5，且z1−z2=3−4i，则|z1+z2|= ______．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=bcsC−ccsB，则b2−c2a2= ______，csA的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1(0,1)，Z2(2,−1)．
(1)若z=z1−z2，求|z|；
(2)若复数z=z1+mz1z2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2+ab=(a+b)2．
(1)求C；
(2)若a+b=6，△ABC的面积为2 3，求c．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，A1B1的中点．
(1)证明：平面BC1E//平面A1DC；
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线A1D与BC1所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面PAB，AB=2 3，AD=3，PB= 3，∠PBA=60°，点E，F分别为棱DC，DP的中点．
(1)求证：AF⊥平面PBD；
(2)求二面角A−DB−P的正切值；
(3)求直线PE与平面PAD所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C=1+cs2A，点P为△ABC的费马点．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若△ABC的面积为 32，且c=1，求tan∠PBA的值；
(3)求PB+PCPA的最小值．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.D
5.C
6.B
7.B
8.B
9.BC
10.AB
11.ACD
12.83
13.5 3
14.3 2 23
15.(1)复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1(0,1)，Z2(2,−1)．
则z1=i，z2=2−i，则z=z1−z2=i−(2−i)=−2+2i，
所以|z|= (−2)2+22=2 2．
(2)由题意可知：z=z1+mz1z2=i+mi(2−i)=m+(2m+1)i，
因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则m0，解得−120，
则PB+PCPA=m+n，
在△PAB中，由余弦定理得AB2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
在△PAC中，由余弦定理得AC2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
在△PBC中，由余弦定理得BC2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
由AC2+AB2=BC2，
得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
化简得m+n+2=mn，又m>0，n>0，
则m+n+2=mn≤(m+n2)2，当且仅当m=n时取等号，
整理得(m+n)2−4(m+n)−8≥0，
因此m+n≥2+2 3，或m+n≤2−2 3(舍去)，
所以PB+PCPA的最小值为2+2 3．