2024-2025学年宁夏吴忠中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏吴忠中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=2+ii，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 2 2
2.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是( )
A. AB与HG相交 B. AB与EF平行
C. AB与CD相交 D. EF与CD异面
3.正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是( )
A. 2
B. 4
C. 4 2
D. 8 2
4.在△ABC中，点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点.若MN=xAB+yBC，则x−y=( )
A. 1B. 12C. −13D. −23
5.已知正三棱锥的底面边长为6，高为3，则该三棱锥的表面积是( )
A. 54 3B. 27 3C. 18 3D. 15 3
6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆直径为( )．
A. 4 5B. 5C. 5 2D. 6 2
7.宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷.宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实.图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为( )
A. 248πcm3B. 274πcm3C. 354πcm3D. 370πcm3
8.已知Rt△ABO的面积为4，O为直角顶点，设向量a=OA|OA|、向量b=OB|OB|，向量OP=a+2b，则PA⋅PB的最大值为( )
A. −4B. −3C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数2−2i的虚部为−2i
B. 若i为虚数单位，则i2023=−i
C. 在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i,−12− 32i
D. 已知i是虚数单位，a∈R，若(a+2i)(1+i)=4i，则实数a=2
10.已知OA表示向量a，OB表示向量b，向量a=(1,2)，b=(3,1)，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 若向量a+tb与a垂直，则实数t的值为−1
B. 已知点C(4,k)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为−2
C. a在b方向上的投影向量的模为 102
D. 若c=(−1,m)，a+b与c的夹角为钝角，则实数m的取值范围是(−∞,43)
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是( )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC定为等腰三角形
B. 若a2+b2−c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
C. 若点M是边BC上的点，且AM=23AB+13AC，则△AMC的面积是△ABC面积的13
D. 若△ABC平面内有一点O满足：OA+OB+OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(1,1)，b为单位向量，且|a−2b|= 2，则向量a与b的夹角为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2,b=3,csB= 74，则A= ______．
14.已知三棱锥P−ABC，PA⊥底面ABC，且△ABC是边长为 3的正三角形，PA=2，则该三棱锥的外接球表面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足a=(−3,4)，|b|=10．
(1)若a//b，求向量b的坐标；
(2)若向量a，b的夹角为2π3，求(3a−b)⋅(a+b)和|2a−b|的值．
16.(本小题15分)
已知a=( 3csx,1)，b=(sinx,−1)，f(x)=(a+b)⋅a−12．
(1)若a//b，求cs2x的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈(0,π2)，求f(x)的值域．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①asinC=ccs(A−π6)；②(a+b+c)(b+c−a)=3bc.两个条件中任选一个，补充在下面问题中(将选的序号填在横线处)，
已知a=3 62，_____．
(1)若∠B=π4，求b；
(2)若△ABC的周长为4 6，求△ABC的面积S．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1，acsA=2b−ccsC．
(1)求角A；
(2)若D是线段BC的中点，且AD=1，求S△ABC；
(3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．
19.(本小题17分)
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB=π6，弓形花园的弦长|AB|=2 3，记弓形花园的项点为M，∠MAB=∠MBA=π6，设∠OBA=θ．
(Ⅰ)将|OA|，|OB|用含有θ的关系式表示出来；
(Ⅱ)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.B
6.C
7.D
8.B
9.BCD
10.AC
11.ABC
12.π4
13.π6
14.8π
15.(1)设b=λa=(−3λ,4λ)，
所以|b|= (−3λ)2+(4λ)2=5|λ|=10，解得λ=±2，
向量b的坐标为(−6,8)或(6,−8)；
(2)|a|= (−3)2+42=5，|b|=10，
a⋅b=|a||b|cs2π3=5×10×(−12)=−25，
所以(3a−b)⋅(a+b)=3a2+2a⋅b−b2=75−50−100=−75，
|2a−b|= 4a2−4a⋅b+b2= 100+100+100=10 3．
16.解：(1)因为a=( 3csx,1)，b=(sinx,−1)，
由a//b，可得 3csx×(−1)=sinx，即tanx=− 3，
所以cs2x=cs2x−sin2xcs2x+sin2x=1−tan2x1+tan2x=−12；
(2)因为f(x)=(a+b)⋅a−12=( 3csx+sinx,0)⋅( 3csx,1)−12
=( 3csx+sinx)⋅ 3csx−12=3cs2x+ 3sinxcsx−12
=3×1+cs2x2+ 32sin2x−12
= 32sin2x+32cs2x+1
= 3sin(2x+π3)+1，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z，
即f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ],k∈Z；
(3)当x∈(0,π2)时，2x+π3∈(π3,4π3)，
因为y=sinx在x∈(π3,π2)时单调递增，在x∈(π2,4π3)时单调递减，
又当2x+π3=4π3时，sin(2x+π3)=− 32，
当2x+π3=π2时，sin(2x+π3)=1，
当2x+π3=π3时，sin(2x+π3)= 32，
所以sin(2x+π3)∈(− 32,1],
所以 3sin(2x+π3)+1∈(−12, 3+1],
即f(x)的值域为(−12, 3+1]．
17.(1)若选①：asinC=ccs(A−π6)，
则asinC=c( 32csA+12sinA)，
所以sinAsinC=sinC( 32csA+12sinA)，即12sinAsinC= 32sinCcsA，
由sinC>0可得sinA= 3csA，
可得tanA= 3，所以A=π3，
由正弦定理32 6sinπ3=bsinπ4，可得b=3 62× 22 32=3；
若选②(a+b+c)(b+c−a)=3bc，则b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=12，由A∈(0,π)，得A=π3，
由正弦定理32 6sinπ3=bsinπ4，可得b=3 62× 22 32=3．
(2)△ABC中，a2=b2+c2−2bccsA，
所以(3 62)2=b2+c2−2bc×12，
即b2+c2=bc+272，(b+c)2=3bc+272
因为周长为a+b+c=4 6，所以b+c=5 62，
代入得(5 62)2=3bc+272，bc=8，
所以面积S=12bcsinA=2 3．
18.解：(1)a=1，acsA=2b−ccsC，
根据正弦定理得：sinAcsA=2sinB−sinCcsC，化简得sinAcsC=2sinBcsA−sinCcsA，
∴sinAcsC+sinCcsA=sin(A+C)=2sinBcsA，
又A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)，∴sinB=2sinBcsA，
∵sinB>0，∴csA=12，
∵A∈(0,π)，∴A=π3；
(2)由(1)及余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA，即1=b2+c2−bc，①
又∵AD=12AB+12AC，∴AD2=(12AB+12AC)2，
∴1=14b2+14c2+14bc，②
由②×4−①得：bc=32，
∴S△ABC=12bcsinA=12×32× 32=3 38．
(3)由(1)得A=π3，则B+C=2π3，即sinC=sin(2π3−B)= 32csB+12sinB，
由正弦定理可知b=2 3sinB，c=2 3sinC，
∴b+c=2 3(sinB+sinC)=2( 32sinB+12csB)=2sin(B+π6)．
∵△ABC为锐角三角形，∴0