江苏省镇江市2025届年高三下5月模拟数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市2025届年高三下5月模拟数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=xx-1x-4≥0，B=xx=2sinθ,θ∈R，则∁RA∪B=（ ）
A．-2,2B．2,4C．2,4D．1,4
【答案】C
【解析】因为A=xx-1x-4≥0=-∞,1∪4,+∞，B=xx=2sinθ,θ∈R=-2,2，
所以A∪B=-∞,2∪4,+∞，
∁RA∪B=2,4，
故选：C
2．已知向量a、b满足a=1，b=23，b⋅2a+b=18，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．3π4
【答案】A
【解析】因为b⋅2a+b=2a⋅b+b2=2a⋅bcsa,b+b2=43csa,b+12=18，
可得csa,b=32，
又因为0≤a,b≤π，所以a,b=π6，即a与b的夹角为π6.
故选：A.
3．在x-12xn的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中x6的系数是（ ）
A．454B．-358C．358D．7
【答案】A
【解析】∵在x-12xn的展开式中，只有第6项的二项式系数Cn5最大，
∴它的展开式共计有11项，∴n=10，
故二项展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x10-r⋅-12xr=C10r⋅-12r⋅x5+r2，
令5+r2=6，求得r=2，可得在x-12xn的展开式中x6的系数为C102⋅14=454，
故选：A．
4．记等差数列an的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17，则S16=（ ）
A．120B．140C．160 D．180
【答案】C
【解析】因为a3+a7=2a5=6，所以a5=3，所以a5+a12=3+17=20，
所以S16=a1+a16×162=8a5+a12=160，
故选：C.
5．已知sinα-β=n，tanα=3tanβ，则sinα+β=（ ）
A．-2nB．-n2C．n2D．2n
【答案】D
【解析】∵sinα-β=n，∴sinαcsβ-csαsinβ=n，
∵tanα=3tanβ，∴sinαcsβ=3csαsinβ，
∴csαsinβ=n2，sinαcsβ=3n2，
∴sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ=2n，
故选：D．
6．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（ ）
A．12B．9C．6D．15
【答案】B
【解析】从6所大学中任取4所，有C64种，其中甲乙两所学校同时被取到，有C42种，
所以该考生报名的可能情况种数是C64-C42=9.
故选：B
7．已知fx及其导函数f'x的定义域均为R，且f'x不是常函数，则命题“fx是周期函数”是“f'x是周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若fx是周期函数，设周期为T，则fx+T=fx，
两边求导，有：f'x+T=f'x，所以f'x也是周期为T的周期函数；
若f'x为周期函数，但fx不一定为周期函数，
例如，fx=-csx+x，不具有周期性，而f'x=sinx+1，周期为2π，
所以“fx是周期函数”是“f'x是周期函数”的充分不必要条件，
故选：A
8．已知l为抛物线y=x2的切线，且l交圆M:x2+(y-1)2=4于A,B两点，则AB的最大值是（ ）
A．23B．13C．15D．4
【答案】B
【解析】设切点为x0,x02，所以y'=2x⇒y'|x=x0=2x0，所以直线l的方程为y-x02=2x0x-x0，即2x0x-y-x02=0，
圆心0,1到直线l的距离为d=-1-x024x02+1，
所以AB=2r2-d2=24-1+x024x02+12=24-1+x0224x02+1，
令t=4x02+1，所以x02=t-14，
所以1+x0224x02+1=1+t-142t=t2+6t+916t=t16+916t+38≥2t16×916t+38=34，
当且仅当t16=916t⇒t2=9⇒t=3时等号成立，
所以AB=24-1+x0224x02+1≤24-34=13，
故选：B.
二、多选题
9．有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（ ）
A．数据A的平均数小于数据B的平均数
B．数据A的方差小于数据B的方差
C．数据A的极差小于数据B的极差
D．数据A的中位数小于数据B的中位数
【答案】ABC
【解析】设数据A：1，3，5，7，9的平均数，方差，极差，中位数依次为a1,b1,c1,d1，
数据B：1，2，4，8，16的平均数，方差，极差，中位数依次为a2,b2,c2,d2，
对于A，a1=1+3+5+7+95=56zC．xy>2z2D．x+y>32+2z
【答案】ACD
【解析】正数x，y，z满足3x=4y=6z，设3x=4y=6z=tt>1，
则x=lg3t，y=lg4t，z=lg6t．
对于A，1x+12y=lgt3+12lgt4=lgt6=1z，故A正确；
对于B，3x=3lg3t，4y=4lg4t，6z=6lg6t，
∵3x4y=3lg3t4lg4t=34lg3432+2z（x≠y），故D正确．
故选：ACD
三、填空题
12．若z=-1+3i，则zzz-1= .
【答案】-13+33i
【解析】由于z=-1+3i，所以zzz-1=-1+3i-1+3i-1-3i-1=-1+3i3=-13+33i.
故答案为：-13+33i.
13．已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等，则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是 ，圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是 ．
【答案】23；1
【解析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h=3r，母线l=2r，
由题可知：h=2R，所以球的半径R=32r
所以圆锥的体积为V1=13×π×r2×3r=33πr3，
球的体积V2=43πR3=43π×32r3=32πr3，
所以V1V2=33πr332πr3=23；
圆锥的表面积S1=πrl+πr2=3πr2，
球的表面积S2=4πR2=4π×32r2=3πr2，
所以S1S2=3πr23πr2=1，
故答案为：23；1.
14．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为 .
【答案】5751296
【解析】掷骰子一共4次，基本事件共64=1296种情况，
其中，得两分平局两人抛出的都是1,1，共有1种；
得三分平局两人均有1,2,2,1两种情况，两人共22=4种，
以此类推，甲、乙平局一共有12+22+32+42+52+62+52+42+32+22+12=146种情况，
其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为5751296．
故答案为：5751296
四、解答题
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3csA=2．
（1）求A．
（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周长．
解：（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由sinA+3csA=2可得12sinA+32csA=1，即sin(A+π3)=1，
由于A∈(0,π)⇒A+π3∈(π3,4π3)，故A+π3=π2，解得A=π6
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由sinA+3csA=2，又sin2A+cs2A=1，消去sinA得到：
4cs2A-43csA+3=0⇔(2csA-3)2=0，解得csA=32，
又A∈(0,π)，故A=π6
方法三：利用极值点求解
设f(x)=sinx+3csx(00,f(x)在(1,+∞)时为增函数，
所以f(x)的极小值为f(1)=52，无极大值.
（2）不等式f(x)≥2(x-1)2+52⇔-32x2+6x-3lnx-92≥0，
令函数h(x)=-32x2+6x-3lnx-92，求导得h'(x)=-3x+6-3x=-3(x-1)2x≤0，
函数h(x)在(0,+∞)上单调递减，且h(1)=0，由h(x)≥0=h(1)，解得00为C1,C2的一个交点，且AF2=5．
（1）求p1,p2,m的值；
（2）P,Q是C1上的两点，若四边形F1PF2Q（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
解：（1）抛物线C2:y2=2p2x，准线方程为x=-p22，
AF2=4+p22=5，所以p2=2，所以y2=4x，
因为点A4,m在抛物线C2上，所以m2=4×4=16，
又m>0，所以m=4，
将A4，4代入抛物线C1:x2=2p1y，可得p1=2，
故p1=2，p2=2，m=4；
（2）由（1）可知F10,1,F21,0，设F1F2中点为M12,12，
因为四边形F1PF2Q为平行四边形，所以M为PQ中点，
设Px1,y1,Qx2,y2，所以x1+x2=1,y1+y2=1，
因为P,Q在抛物线C1上，所以x12=4y1x22=4y2，则x12-x22=4y1-y2，
即x1-x2x1+x2=4y1-y2，
所以y1-y2x1-x2=14，所以kPQ=14，且直线PQ过点12,12，
所以lPQ:y-12=14x-12，即2x-8y+3=0，
联立2x-8y+3=0x2=4y⇒2x2-2x-3=0，
所以x1+x2=1,x1x2=-32，
所以PQ=1+kPQ2x1-x2=1+kPQ2x1+x22-4x1x2=1+116⋅1+6=1194，
F1到PQ距离d=-8+34+64=5217，
所以S=PQ⋅d=1194×5217=578．
19．已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，x,y∈N*,y≥2，这些球除颜色外完全相同.
（1）当x=1，y=2时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.
①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率；
②若规定甲乙摸球次数的总和达到2nn∈N*时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求EX.
（2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为1,2,3,⋅⋅⋅,x+y的盒子中，其中第k次取出的球放入编号为kk=1,2,3,⋅⋅⋅,x+y的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，EX是X的数学期望，求证：当x>y时，EXy,所以E(X)