江苏省镇江中学2024-2025学年度高二下学期期中考试模拟 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省镇江中学2024-2025学年度高二下学期期中考试模拟 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
2．下列说法中错误的是（ ）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．两个随机变量相关系数越小，表明两个变量相关性越弱
D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
3．的值是（ ）
A．B．1C．0D．22024
4．函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
5．若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．三个数，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）

A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第n行的第个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
8．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．150种B．210种C．300种D．540种
二、多选题（本大题共3小题）
9．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．数据，，，，，，，的极差与众数之和为
B．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是
C．已知某班共有人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，则小明成绩是全班数学成绩的第百分位数
D．一组不完全相同数据，， ，的方差为，则数据，，，的方差为
10．现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
11．已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．

13．在的展开式中，x2y5项的系数是 .
14．若函数存在两个极值点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．若展开式前三项的二项式系数之和为22．
(1)求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项．
16．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）；
(2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克．
附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：．
17．已知函数，若有极大值，且极大值为2．
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
18．设.
(1)求；
(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；
(3)若，求.
19．已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）是的极值点，求证：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，
第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.
故选B.
2．【答案】C
【详解】对于A，因为，所以第80百分位数是8，故A正确；
对于B，根据线性回归直线的定义，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
对于C，两个随机变量相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故C错误；
对于D，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故D正确.
故选C.
3．【答案】A
【详解】由二项式定理得
.
故选A.
4．【答案】B
【详解】函数的定义域为，
因为，所以，
令，即，所以，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选B.
5．【答案】C
【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，可得，
令，解得或（舍去），则，
所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
所以点到直线的距离的最小值为.
故选C.
6．【答案】D
【详解】设，则，
当时，则，可得，
可知在上单调递减，
因为，，，
且，则，所以．
故选D．
7．【答案】D
【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为，
由此分析选项：
对于A，，A错误；
对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误；
对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误；
对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确．
故选D．
8．【答案】B
【详解】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，
则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．
若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．
所以每位同学的不同选修方式有种．
故选B．
9．【答案】AD
【详解】对于A，数据，，，，，，，的极差为，众数为，
所以数据，，，，，，，极差与众数之和为，A正确；
对于B，由题意可知，解得：，
所以数据为：，，，，，，数据的中位数为，
B错误；
对于C，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，
若成绩从低到高排序，小明的成绩排在第位，又因为，
又因为考试分数排名为由高分到低分，所以全班数学成绩的第百分位数应为：
第班级成绩的第名与第名同学成绩的平均数，
所以小明的成绩不是全班数学成绩的第百分位数，C错误；
对于D，因为，， ，的方差为3，根据方差性质，
，，，的方差为，D正确.
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确；
对于B，恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，
再将4人安排到两项工作有种，故一共有种安排方法，故B错误；
对于C，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，
若甲、乙同组，则有种，
若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加项工作，
则安排不含甲乙的一组参加工作，剩下的两组安排参加、两项工作，则种，
综上，一共有种安排方法，故C正确；
对于D，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配，
则不同的安排方法有种，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】方程，可化为，
因为方程有两个不等的实根，
所以与有两个不同的交点，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
，
当时，，且，当时，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
故，
当时，，，
根据以上信息，可得函数的大致图象如下：
，且，故A正确．
因为，
构造，
，
在上单调递增，
，
，即，
由在单调递增
所以，故B正确．
对于C，由，，
所以，
又，所以，则，所以，故C错误．
对于D，由，可得，
所以，D正确．
故选ABD．
12．【答案】
【详解】

由频率直方图可得，支出在内的频率为，
所以有.
13．【答案】-12
【详解】解：的通项为，
令此时，
令此时，
所以展开式中，x2y5项的系数是.
14．【答案】
【详解】由题意知：的定义域为，，
有两个极值点，为的两根，
，又，解得：；，，
；
令，则，
当时，恒成立，在上单调递减，
，则的取值范围为.
15．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题意可知，，即，
得或（舍），
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为.
（2），
令，得，则，
故展开式中的常数项为.
16．【答案】(1)0.95，与线性相关性很强．
(2)，6.1
【详解】（1）根据题意，可得，
且，
，
，
可得，
因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强．
（2）由，则，
所以线性回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是
18．【答案】(1)
(2)20，21，22
(3)
【详解】（1）由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）的定义域是，
，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递减，在递增；
（2）（ⅰ）由（1）知要使有两个零点，则，
此时在上单调递减，在单调递增，
依题意需，
此时，故，
而，，
当时，令，
则，故，
∴，∴，
由零点存在定理知，在与上分别存在唯一零点．
（ⅱ）因为，，令，
由，
即，
而，
即，
由，，只需证，
令，
则，
令，则，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，；
∴