2024-2025学年吉林省长春市希望中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市希望中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量a=(sinθ,1),b=(csθ,−2)，若a//b，则tanθ=( )
A. −12B. −2C. 2D. 12
2.学校准备举办王者荣耀比赛，从24名最强王者，16名无双王者，8名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取最强王者的人数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知复数z满足1+z1−z=1+i，则z=( )
A. 25+15iB. 25−15iC. 15+25iD. 15−25i
4.立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是( )
A. 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面
B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 垂直于同一条直线的两条直线平行
5.有一组样本数据x1，x2，⋯，xn，其平均数为x1−，方差为s12，若样本数据−x1+1，−x2+1，⋯，−xn+1的平均数为x2−，方差为s22，则( )
A. x2−=x1−−1B. x2−=x1−C. s12=s22D. s12>s22
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，BD1，则直线AC，BD1位置关系是( )
A. 异面且垂直B. 异面但不垂直C. 相交且垂直D. 平行
7.已知圆锥底面半径为2，其母线与下底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为( )
A. 2 2πB. 4 2πC. 2 3πD. 4 3π
8.如图，在四面体OABC中，N是BC的中点.设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示AN，则( )
A. AN=a+12b+12c B. AN=12a+b+c
C. AN=−a+12b+c D. AN=−a+12b+12c
9.如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′=2，A′B′⊥O′B′，则原平面图形△ABC的面积为( )
A. 4
B. 2 2
C. 4 2
D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.给定一组数据5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，则这组数据的( )
A. 极差为4B. 标准差为85C. 平均数为3D. 中位数为3
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若sinB>sinC，则B>C
B. 若a=2 6，b=4，A=π4，则三角形有两个解
C. 若bcsB−ccsC=0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
D. 若△ABC的面积S=14(a2+b2−c2)，则C=π4
12.已知向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，则下列结论正确的是( )
A. 若a⊥b，则tanα=− 33
B. 若a//b，则α=π3
C. 若b在a上的投影向量为−14a，则向量a与b的夹角为2π3
D. |a−b|的最大值为3
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
13.已知m∈R，复平面内表示复数(m2−5m−6)+(m2+m+1)i的点在虚轴上，则m=______．
14.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2 3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(csx, 3sinx)，b=(2csx,2csx)，f(x)=a⋅b−1．
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调区间．
(2)当x∈[0,π2]时，求函数y=f(x)的最小值及此时x的值．
16.(本小题15分)
2025年吉林市马拉松赛将于5月18日7：30正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩(分钟)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数；
(3)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数；
(4)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
(1)证明：直线MN//平面OCD；
(2)求异面直线AC与MD所成角的大小；
(3)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，侧面A1ADD1为正方形，AB=2AD=2，E为线段AB(不包含端点)上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．
(1)若D1E⊥EC，求AE的长度；
(2)求点A到平面D1EC距离的取值范围．
19.(本小题17分)
定义向量OM=(a,b)的“相关函数”为f(x)=asinx+bcsx；函数f(x)=asinx+bcsx的“相关向量”为OM=(a,b)．
(1)求函数f(x)=2sin2(x2+π3)−1的“相关向量”OM的模长；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数ℎ(x)的“相关向量”为OM=(0,1)，且已知a=4,ℎ(A)=35．
①求△ABC周长的最大值；
②求|AB+AC|−AB⋅AC的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.D
5.C
6.A
7.B
8.D
9.A
10.ACD
11.ACD
12.ACD
13.6或−1
14.16π
15.(1)a=(csx, 3sinx)，b=(2csx,2csx)，
则f(x)=a⋅b−1=2cs2x+2 3sinxcsx−1=cs2x+ 3sin2x=2sin(2x+π6)，
∵x∈[0,π]，∴2x+π6∈[π6,13π6]，
令π6≤2x+π6≤π2得0≤x≤π6；
令π2