2024-2025学年江苏省南京航空航天大学附中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京航空航天大学附中高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2−2x−150的解集为{x|xn}，则Cmn=( )
A. 70B. 90C. 180D. 495
3.如表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格y(单位：千元)与月份代码x的统计数据.由表中数据计算得到经验回归方程为y =b x+0.19，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为( )
A. 2.41千元B. 2.38千元C. 2.35千元D. 2.32千元
4.已知随机变量X服从正态分布N(4,σ2)(σ>0)，则“m=3”是“P(X≥m2)+P(X>m−4)=1”的( )
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.函数f(x)=sinx⋅lnx−1x+1的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.下列说法中正确的是( )
①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516
②一批零件共有20个，其中有3个不合格.随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为4657
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=29
④E(2X+3)=2E(X)+3，D(2X+3)=4D(X)+3
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②③
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(6−x)+f(x)=0，且f(2x+1)为偶函数，则f(2023)=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.若实数x，y，z满足2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z，则x，y，z的大小关系不可能是( )
A. x>y>zB. x>z>yC. y>x>zD. y>z>x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正数a，b满足a+b=1，则( )
A. lg2a+lg2b≤−2B. 2a+2b≥2 2
C. a+lnb0，且a≠1)．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)=−1，当x∈[−1,1]时，求f(x)的值域．
17.(本小题15分)
2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4.乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
(2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球(左右手完成各取两球为两次取球)的成功取法次数的随机变量X，求X的分布列．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=3，PD=AB=BC=6.点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F．
(1)求证：AD//EF；
(2)若E为棱PA的中点，求二面角A−BE−C的正弦值；
(3)记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d12+d22的最小值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点(与A，B不重合)，连接AC，BD交于点Q．
①求证：点Q在定直线上；
②设AQ=λ1AC，BQ=λ2BD，求5λ1+1λ2的最大值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|x2−2x−15m−4)=1即P(X≥m2)=P(X≤m−4)，故m2+m−4=8，解得m=3或−4，
则“m=3”是“P(X≥m2)+P(X>m−4)=1”的充分不必要条件．
故选：A．
根据正态分布曲线的对称性可得m2+m−4=8，从而可解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，属于一般题．
判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f(3)的符号是否对应，进行排除即可．
【解答】
解：由题可得，f(x)的定义域为−∞,−1∪1,+∞，
f(−x)=−sinx⋅ln−x−1−x+1=−sinx⋅lnx+1x−1
=sinx⋅lnx−1x+1=f(x)，
则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，
排除A，C，
f(3)=sin3ln12y>z.A可能正确；
当z=1时，y=9，x=8，所以y>x>z，所以C可能正确；
z=125时，y=243，此时x=64，满足y>z>x，所以D可能正确．
故选：B．
利用特殊值验证法，求解判断即可．
本题考查对数值的大小比较，特殊值方法的应用，是中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：因为a>0，b>0且a+b=1，
所以1=a+b≥2 ab，
即ab≤14(当且仅当a=b=12时取“=”)．
所以lg2a+lg2b=lg2(ab)≤lg214=−2，
故A正确；
因为2a+2b≥2 2a×2b=2 2a+b=2 2，
故B正确；
设f(x)=1−x+lnx (0