2024-2025学年江苏省南京航空航天大学苏州市附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京航空航天大学苏州市附中高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程x2+y2+mx−2y+3=0表示圆，则m的取值范围是( )
A. (−∞,−2 3)∪(2 3,+∞)B. (−2 3,2 3)
C. (−∞,−2 2)∪(2 2,+∞)D. (−2 2,2 2)
2.直线 3x−y+4=0的倾斜角量( )
A. 60°B. 120°C. 150°D. 30°
3.在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为( )
A. b−anB. b−an+1C. b+an+1D. b−an+2
4.若直线mx+4y−2=0与2x−5y+n=0互相垂直，垂足为(1,t)，则m−n+t的值为( )
A. 20B. −4C. 12D. 4
5.已知直线l：xa+ya=1及圆C：x2+y2−6x−2y+2=0，则“a=8”是“直线l与圆C相切”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6.已知递增等差数列{an}中，a6=18且a2是a1，a4的等比中项，则它的第4项到第11项的和为( )
A. 180B. 198C. 189D. 168
7.《九章数学》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”.如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为( )
A. 4天B. 5天C. 6天D. 7天
8.已知椭圆C：x225+y29=1，设点M的轨迹为曲线C，已知点N(1, 3)与点F(−4,0)，则|MF|+|MN|的最小值为( )
A. 2 3B. 2 7C. 10−2 3D. 10−2 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆M：x2+y226=1，则( )
A. M的焦点在x轴上B. M的焦距为10
C. M的离心率为5 2626D. M的长轴长是短轴长的5倍
10.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，下列叙述正确的为( )
A. 直线l恒过定点(3,1)B. 直线l被圆所截得的弦最长时，m=−13
C. 直线l被圆所截得的弦中最短弦长为4 5D. 直线l可能与圆C相离
11.设数列{an}的前n项和为Sn，若bn=Snn，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”，且bn=n+12n，则下列结论正确的是( )
A. a5=−516
B. 若数列{bn}的前n项和为Tn，则T5=114
C. {Sn}是递减数列
D. 若对任意的n∈N∗，4m2−m≥Sn恒成立，则m的取值范围是(−∞,−12]∪[34,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知椭圆的方程为25x2+4y2=100，则它的焦点坐标为______．
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2(an+1)，则满足Sn=−126的正整数n的值为______．
14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是椭圆上两点，四边形AF1BF2为矩形，延长AF2交椭圆C于点P，若|AP|=43|BF2|，则椭圆C的离心率为______．
15.已知数列{an}前项n和sn=n2+4n(n∈N∗)，数列{bn}为等比数列，首项b1=2，公比为q(q>0)，且满足b2，b3+4q，b4成等差数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=3(an−3)⋅bn4，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α=3π4时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
17.(本小题12分)
已知圆C过A(2,−4)，B(−2,−2)两点，且圆心C在直线x+4y−6=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(7,−1)作圆C的切线，求切线方程．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(1,0)，动点C满足条件：△ABC的周长为2+2 2，记动点C的轨迹为曲线W．
(1)求W的方程；
(2)设过点B的直线l与曲线W交于M，N两点，如果|MN|=4 23，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，且该椭圆过点(2 3, 3)，直线l交椭圆E于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l方程为y=k(x−3)(k≠0)，过A、B作直线m：x=6的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.A
5.C
6.A
7.B
8.C
9.BC
10.ABC
11.ABD
12.(0,− 21)，(0, 21)
13.6
14. 22
15.解(Ⅰ)当n=1时，a1=S1=5．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+3
验证n=1时也成立．∴数的通项公式为：an=2n+3，
∵b2，b3+4q，b4成等差数列，b1=2．
所以2(b3+4q)=b2+b4，
即q2−2q−3=0，
因为q>0，
∴q=3．
∴b1=2q=3
∴数的通项公式为：b=2⋅3n−1．
(Ⅱ)∵cn=3(an−3)bn4=n⋅3n
∴Tn=c1+c2+…+cn=1⋅31+2⋅32+…+n⋅3n①
3Tn=1⋅32+2⋅33+…+n⋅3n+1②
①−②得：
Tn=(2n−1)3n+1+34
16.解：(1)圆x2+y2=8的圆心O(0,0)，半径r=2 2，
因为α=3π4，所以直线AB的斜率kAB=tan3π4=−1，
所以AB：y−2=(−1)×[x−(−1)]，即AB：x+y−1=0，
所以圆心O到AB的距离d=|0+0−1| 12+12= 22，
所以|AB|=2 r2−d2=2 8−12= 30；
(2)因为弦AB被P平分，所以OP⊥AB，P(−1,2)，
又因为kOP=−2，所以kAB=−1kOP=12，
所以弦AB所在的直线方程为：y−2=12[x−(x−1)]，
即x−2y+5=0．
17.解：(1)已知圆C过A(2,−4)，B(−2,−2)两点，且圆心C在直线x+4y−6=0上，
由已知A(2,−4)，B(−2,−2)，
则其中点为(0,−3)，kAB=−2+4−2−2=−12，
所以AB中垂线的斜率kl=2，
则AB中垂线为l：y=2x−3，所以点C在l上，
又点C在直线x+4y−6=0，
联立y=2x−3x+4y−6=0，解得x=2y=1，即C(2,1)，
半径r=|CA|= (2−2)2+(1+4)2=5，
所以圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=25；
(2)过点P(7,−1)作圆C的切线，
由(1)得C(2,1)，r=5，
当过点P的切线斜率不存在时，直线为x=7，与圆C相切；
当过点P的斜率存在时，设切线方程为y+1=k(x−7)，即kx−y−7k−1=0，
圆心C(2,1)到切线的距离d=|2k−1−7k−1| k2+(−1)2=5，
解得k=2120，
所以直线方程为y+1=2120(x−7)，即21x−20y−167=0；
综上所述，切线方程为x=7或21x−20y−167=0．
18.解：(1)设点C的坐标是C(x,y)，
∵△ABC的周长为2+2 2，|AB|=2，
∴|CA|+|CB|=2 2>2．
∴由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2 2的椭圆(除去与x轴的两个交点)．
∴a= 2.c=1，b2=a2−c2=1，
∴曲线W的方程为x22+y2=1(y≠0)．
(2)易知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x=my+1，
与x22+y2=1联立化简得，
(m2+2)y2+2my−1=0，
由韦达定理得：y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2，
∴|MN|= 1+m2|y2−y1|= 1+m2⋅ (y2−y1)2−4y1y2
= 1+m2⋅ (−2mm2+2)2−4(−1m2+2)=2 2(m2+1)m2+2=4 23，
解得m=±1，
∴直线l的方程为x=±y+1，
即x+y−1=0或x−y−1=0．
19.解：(1)设椭圆半焦距为c，由题意可得c=312a2+3b2=1a2=b2+c2，
解得a2=18b2=9，所以椭圆E的标准方程为：x218+y29=1．
(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则P(6,y1),Q(6,y2),R(6,y1+y22)，
联立y=k(x−3)x218+y29=1，消去y得(2k2+1)x2−12k2x+18k2−18=0，
所以x1+x2=12k22k2+1,x1x2=18k2−182k2+1，
kQF−kAR=y23−y1−y1+y22x1−6=y23−y1−y22(x1−6)
=k(x2−3)3−k(x1−x2)2(x1−6)=k⋅2x1x2−9(x1+x2)+366(x1−6)
=k⋅2×18k2−182k2+1−9×12k22k2+1+366(x1−6)=0，
所以kQF=kAR，QF//AR，而AF与QR不平行，所以四边形ARQF为梯形．