2024-2025学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省宜春市丰城九中日新班高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|x3>4}，B={x∈Z|−40)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上.当BF⊥AF时，|AF|=|BF|．
(1)求C的离心率；
(2)已知a=1，M，N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若MB=2BN，求△MON的面积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2ax+(2−a)lnx+1x．
(1)当a0且BA与BC不共线，再利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列式求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
14.【答案】1+ln2
【解析】解：因为直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，
所以两个切点都在直线y=kx+b上，
设两个切点分别为(x1,kx1+b)，(x2,kx2+b)，
又f′(x)=1x，g′(x)=1x+1，则f′(x1)=1x1，g′(x2)=1x2+1，
由导数的几何意义可知k=1x1=1x2+1，则x1=x2+1，
且切点在各自曲线上，所以kx1+b=lnx1+2,①kx2+b=ln(x2+1),②
则将x1=x2+1代入①可得k(x2+1)+b=ln(x2+1)+2，③
③−②可得k=2，
由k=1x1=1x2+1，可得x1=12x2=−12，
代入①中可知1+b=ln12+2，
所以b=1+ln12=1−ln2，
所以k−b=1+ln2．
故答案为：1+ln2．
设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得k=1x1=1x2+1.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得k，x1，x2，代入其中一条曲线即可求得b的值，由此可求k−b．
本题考查函数的切线问题的求解，方程思想，属中档题．
15.【答案】B=π3；
2．
【解析】(1)在△ABC中，a−ccs2B=c+2bcsCcsB，
得a=c(1+cs2B)+2bcsCcsB=2ccs2B+2bcsCcsB=2csB(ccsB+bcsC)，
由正弦定理得sinA=2csB(sinCcsB+sinBcsC)=2csBsin(B+C)=2sinAcsB，
而sinA>0，得csB=12，又B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)若a+c=6，b= 3a，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−2ac⋅12=a2+c2−ac，
得3a2=(a+c)2−3ac=36−3a(6−a)，
解得a=2，则b=2 3，
所以r=b2sinB=2 32× 32=2．
(1)根据给定条件，利用正弦定理边角互化以及三角恒等变换求解．
(2)由(1)的结论，利用余弦定理求出b，再利用正弦定理求解．
本题主要考查了正弦定理余弦定理，和差角公式的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)如图，

在四棱锥P−ABCD中，连接AC，AE，
因为△BPC是正三角形，E为BC的中点．
所以PE⊥BC,PE= 3，
因为四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，
所以△ABC是正三角形，AE= 3，
则PE2+AE2=6=PA2，
PE⊥AE，又BC∩AE=E，BC，AE⊂平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线EC，EA，EP两两垂直，
以E为原点，直线EC，EA，EP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0, 3,0),B(−1,0,0),P(0,0, 3),D(2, 3,0)，
PA=(0, 3,− 3),PD=(2, 3,− 3),PB=(−1,0,− 3)，
设平面PAD的法向量n=(x,y,z)，
则PA⋅n= 3y− 3z=0PD⋅n=2x+ 3y− 3z=0，取z=1，得n=(0,1,1)，
设平面PAB的法向量m=(a,b,c)，
则PA⋅m= 3b− 3c=0PB⋅m=−a− 3c=0，取c=1，得m=(− 3,1,1)，
cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=2 5⋅ 2= 105，
所以二面角D−PA−B的正弦值为 1−( 105)2= 155．
【解析】(Ⅰ)根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证．
(Ⅱ)以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面PAD与平面PAB的法向量，再利用面面角的向量法求解．
本题主要考查线面垂直的判定以及空间向量法求二面角大小，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当BF⊥AF时，|AF|=|BF|时，c+a=b2a=c2−a2a，
整理得a=c−a，
即2a=c，
所以双曲线C的离心率e=ca=2；
(2)因为a=1，
由(1)知c=2，b= 3，
所以双曲线C的方程为x2−y23=1，渐近线方程分别为y=± 3x，
设M(m, 3m)，N(n,− 3n)(m>0,n>0)，
因为MB=2BN，
解得B(m+2n3, 3(m−2n)3)，
因为点B在双曲线C上，
所以(m+2n3)2−[ 3(m−2n)3]23=1，
解得mn=98，
因为∠MON=120°，|MO|=2m，|NO|=2n．
所以S△MON=12|MO||NO|sin120°= 3mn=9 38．
【解析】(1)由题意，得到2a=c，代入离心率公式中即可求解；
(2)结合(1)中信息得到双曲线C的方程，设出M，N两点的坐标，根据向量的坐标运算求出点B的坐标，代入双曲线方程中求出mn，利用三角形面积公式再求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=2ax+(2−a)lnx+1x的定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=(2x−1)(ax+1)x2，
因为a