2024-2025学年新疆哈密十五中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年新疆哈密十五中高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z⋅(1+i)=4+3i，则|z|=( )
A. 5 22B. 52C. 22D. 12
2.已知A(3,1)，B(4,3)，C(x,7)三点共线，则x=( )
A. 10B. 8C. 7D. 6
3.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，且m⊂α，n⊂β，则下列结论正确的是( )
A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若α//β，则m//n
C. 若m//β，n//α，则α//βD. 若m⊥β，则α⊥β
4.在△ABC中，若AC= 6，C=45°，AB=2，则B等于( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
5.将周长为8的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱.当该圆柱体积最大时，边AB的长为( )
A. 43B. 23C. 13D. 1
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线C1B与D1C所成角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.已知向量a=(2,−1),b=(−3,t),(2a+b)⊥a，则t=( )
A. 4B. 3C. 2D. 0
8.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z=2−i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. |z|= 5B. z−=2−i
C. z在复平面内对应的点位于第四象限D. z2+4z−−11=0
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. A1C1⊥BD1
B. A1C1/​/平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12π
D. 三棱锥D1−ADC的体积为83
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a= 7,b=2,A=π3，则( )
A. c=3B. sinB= 217
C. sinC= 27D. △ABC中BC边中线长为 192
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−2,λ),b=(1,1)，且a⊥b，则λ= ______，a−b在b方向上的投影向量的坐标为______．
13.已知等边△ABC边长为2，PC⊥平面ABC，且PC= 3，则点C到平面PAB的距离为______．
14.已知三棱锥S−ABC中，AB⊥BC，SC⊥BC，AB=2BC=2，三棱锥S−ABC的体积为23，则当SA取最小值时，三棱锥S−ABC外接球的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(1,2),|b|= 5．
(1)若a//b，求b的坐标；
(2)若(2a−b)⋅(a+b)=4，求a与b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA=0．
(1)求角B；
(2)若△ABC的面积为15 34，周长为15，求b的值．
17.(本小题15分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1图，
(1)求证：平面AB1D1//平面BC1D.
(2)求二面角B1D1−A−BD的大小的余弦值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求BP的长度；
(2)求∠MPN的余弦值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=2，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)证明：AB/​/平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；
(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线AD与平面PBD所成角的正切值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．
根据复数的除法运算表示z，结合复数的模长公式可得结果．
【解答】
解：由复数z满足z⋅(1+i)=4+3i，
得：z=4+3i1+i=(4+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=7−i2=72−12i，
所以|z|= (72)2+(−12)2=5 22．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：由题可得AB=(1,2),BC=(x−4,4)，
因为三点共线，可得AB//BC，所以2(x−4)=4⇒x=6．
故选：D．
利用向量共线，结合向量的坐标运算，即可求解．
本题主要考查向量知识的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，且m⊂α，n⊂β，
若α⊥β，但m与n都不与两平面的交线垂直时，根据三垂线定理不能得到m⊥n，∴A选项错误；
若α//β，则m//n或m与n异面，∴B选项错误；
若m//β，n//α，则α与β可以成任意角，∴C选项错误；
若m⊥β，则由面面垂直的判定定理可得α⊥β，∴D选项正确．
故选：D．
根据空间中各要素的位置关系，即可求解．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由正弦定理，可得ACsinB=ABsinC，即 6sinB=2 22，可得sinB= 32，
因为△ABC中，b>c，所以B∈(π4,π)，可得B=π3或2π3．
故选：D．
根据题意，利用正弦定理列式求出sinB= 32，结合B为三角形的内角算出角B的大小．
本题主要考查正弦定理、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设AB=x，则BC=12(8−2x)=4−x，
则圆柱的体积V=π⋅(4−x)2⋅x，
由题意，0