2026年新高考数学专题复习学案 105. 概率压轴的常见的新情境汇编

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 105. 概率压轴的常见的新情境汇编，共11页。
★类型1.概率递推与马尔科夫链
一．真题回溯
1．（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；（公众号：凌晨讲数学）
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
解析：（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．
（3）因为，，所以当时，，故．
二．热门模考题展示
2.（24届东北三省四市联考T19）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食，东北人的热情，还有东北的洗浴中心，南方游客直接拉着行李箱进入，拥挤程度堪比春运．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在平台10天销售优惠券情况．（公众号：凌晨讲数学）
经计算可得：．
（1）因为优惠券购买火爆，平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程；（结果中的数值用分数表示）
（2）若购买优惠券的顾客中选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且选择A套餐需要用一张优惠券，选择B套餐需要用两张优惠券，记平台累计销售优惠券为n张的概率为,求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列．
①求数列的最值；
②数列收敛的定义：已知数列,若对于任意给定的正数ε，总存在正整数,使得当时，,（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．参考公式：．
解析：（1）剔除第10天数据的；
所以，故，所以.
（2）由题意可知，其中，
将此式变形可得，
令，解得或.
当时,则，所以为常数列
首项为，故，将变形可得，所以是以首项为，公
比为的等比数列，故，即
（3）①当n为偶数时，单调递减，最大值为；
当n为奇数时，单调递增，最小值为；
综上：数列的最大值为，最小值为.
②证明：对任意总存在正整数，（其中表示取整函数）
当时，.
3.（24届深圳中学高三二检）某不透明箱子中有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和3个黄球.
（1）若把所有小球拿出来按顺序排成一排，求所有不同排列方法的种数；
（2）若采取不放回的方式每次从箱子中随机取走一个球,直至取到红球为止，在这过程中记取到的白球数为，求的分布列；（公众号：凌晨讲数学）
（3）若一开始先把箱子里的黄球全部取出来,然后按以下规则每次取一个球；若取到红球,则把红球拿走并重新放入一个白球；若取到白球，则把白球拿走并重新放入一个红球.重复这个操作次后；记箱子里红球个数为，求的数学期望.
解析：（1）8个位置选3个位置放红球共种选法,剩余5个位置选3个位置放黄球共种选法.剩余2个位置放白球因此,共有种排列方式
（2）的可能取值为，时，相当于8个小球按顺序排成排,红球前面没有白球的概率2个白球，3个红球和3个黄球排成一排共有种排列方式，红球前面没有白球共有种排列方式因此，同理
所以的分布列为
（3）设的分布列为
则且
，同理
，由题意得，
，
★类型2.极大似然估计
一．基本原理
（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题.
.
分析：当时，，随值的增加而增加；当时，
，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.
注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.
（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，
这可以用导数求函数最值与最值点.
分析：
当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.
3.2超几何分布的概率最值
将从件产品中取出件产品的可能组合全体作为样本点，总数为.其中，次品出现次的可能为.令，则所求概率为
即.令则当时，；当时，，即当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数.所以当时，达到最大值.
二．热门试题展示
4.（24届杭州市高三二模T19）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．
（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．（公众号：凌晨讲数学）
注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）
（ⅰ）完成下表；
（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．
（2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．
具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
解（1）因为，所以的值为或．
（ⅰ）表格如下
（ⅱ）由题知．
当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大．
所以
（2）对对数似然函数进行求导，，因此似然方程为
，解上面的方程，得，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．
★类型3.概率公式与复杂事件概率计算
1.常见赛制
赛制1.局胜制.
这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜.
赛制2.连胜制.
规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜.
赛制3.比分差距制
规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于.
赛制4.“通关制”（淘汰赛制）
在比赛的过程中，如果在某一场失败，则被淘汰，此类问题要注意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关.这种类似于足球比赛中的淘汰赛.
赛制5.联赛制
一共有局比赛，每位选手都参加局比赛，每局比赛相互独立，最终计算全部比赛的得分分布列，这种就类似与足球比赛中的联赛制，必须要打满一定的场次.
5.（2020全国1卷）.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
解析：（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为
，所以，需要进行第五场比赛的概率为.
（3）①四场比赛丙获胜，丙在前四场获胜的概率为
②由下表可知：五场比赛丙获胜，，，
，（公众号：凌晨讲数学）
丙五场比赛丙获胜的概率为
由于①②互斥，丙最终获胜的概率为.
注：第二问在处理时直接列举情况较复杂，此时可以采取正难则反的技巧.第三问则可直接枚举出各种可能结果，这是我们在计算复杂事件时一个重要的技巧.
6.（24届广州一模T19）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.
已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
（1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；
（2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合
中元素的最小值为，规定团队人数，求.
解析：（1）的所有可能取值为
，的分布列如下
（2），若前位玩家都没有通过第一关测试，其概率为，若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试，则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试，但没有通过第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为.所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
.
第位成员问过第二关的概率.
由
★类型4.概率与其他板块综合
7.（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．（公众号：凌晨讲数学）
解析：（2）设，因为，故，若，则，故.
，因为，，故有两个不同零点，且，
且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.
意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
8.（24届湖北省部分学校联考）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）
（1）若，，求；
（2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
解析：（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况.
要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：
①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.故所求概率为.
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗.
因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.以给定所在位置的序号作为条件，.当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，此时.由全概率公式知.令函数，，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.所以当，时取得最大值，最大值为，此时，即的最大值为，此时的值为日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）
1.90
1.98
2.20
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.70
0.40
0
1
2
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
0
1
2
3
丙的
参赛
情况
1
2
3
4
5
事件
轮空
胜
胜
败
胜
B
轮空
胜
败
轮空
胜
C
轮空
败
轮空
胜
胜
D
1
2
3