2026年新高考数学专题复习学案 97.二项式定理与应用

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考点1.二项式定理
1.一般地，对于任意正整数，都有：
，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：
，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
下面给出二项式定理的证明过程，利用排列组合来证明，这个方法可以进一步推广到证明三项展开式.
考点2.二项式系数的性质
（1）每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
（2）对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
（3）二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
（4）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
（5）最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（6）求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
考点3.二项式系数和的计算与赋值
（1）若，则的展开式中各项系数的和为
当为偶数时，奇数项系数的和为，偶数项系数的和为；
当为奇数时，奇数项系数的和为，偶数项系数的和为.
（2）求形如的展开式的各项系数之和，只需令即可；求形如的展开式的各项系数之和，只需令即可
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
二．典例分析
例1．（多选题）在的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为D．各项的系数之和为
解析：根据二项式定理,的通项公式为,
对于A,常数项为,故A正确;
对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;
对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;
对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC.
题型2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式
例2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中x3y3的系数为( )
A．5B．10C．15D．20
解析：展开式的通项公式为（且），所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和
，在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为，所以的系数为，故选：C
例3．的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．C．30D．
解析：因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用，
最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为，
所以的系数为60. 故选：A
例4.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
解析：由只有第5项的二项式系数最大可得：.∴通项公式，令，解得.∴展开式中含项的系数为.故答案为：.
例5．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A．60B．80C．D．
解析：当时，，解得，则的展开式第项，令，解得，所以，故选：B
例6．已知，则______.
解析：令，则，令，则，①
令，则，②两式相加得
所以，所以.答案为：.
例7．（2023春·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
解析：设，
则，令得：，即：，①令得：，②所以得：.故选：C.
例8.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（ ）
A．B．60C．120D．240
解析：因为，所以，所以展开式的通项为：
，令得：，
所以展开式的常数项为，故选：B．
三．习题演练
1.已知，则（ ）
A．B．
C．除以5所得的余数是1D．
解析：选项A，因为，令，得到，所以选项A正确；
选项B，因为二项展开式的通项公式，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，所以选项B错误；
选项C，因为，
所以除以5所得的余数是1，选项C正确；
对于选项D，因为，
两边同时对求导，得到，
令，得到，所以选项D正确.
故选：ACD.
2．（多选题）在展开式中（ ）
A．展开式中不存在含的项B．展开式所有项系数和为243
C．展开式中含项的系数为30D．展开式共21项
解析：表示个相乘，含的项是在个中选个，个，所以展开式中含的项的系数为，故A错误；
令，则展开式所有项系数和为，故B正确；
含项是在个中选个，个，个，所以展开式中含的项的系数为，故C正确；的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，
若只选一个字母则有种，若选个字母则有种，若选个字母则有种，故展开式共有项，故D正确；故选：BCD
3．（多选）在的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为D．各项的系数之和为
解析：根据二项式定理,的通项公式为,
对于A,常数项为,故A正确;
对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;
对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;
对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC