2025高考数学一轮复习-7.4.2-二项式定理的应用【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.4.2-二项式定理的应用【课件】，共49页。PPT课件主要包含了－20，系数的最值问题，二项式定理的应用，随堂练习，对点练习，由二项式定理可得等内容，欢迎下载使用。

一、两个多项式乘积的特定项
例1　(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.－10 C.2 D.－2
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
跟踪训练1　(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为A.12 B.16 C.20 D.24
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______.(用数字作答)
即n2＋n－156＝0.解得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tr＋1项的系数最大，
又∵0≤r≤n，r∈N，∴r＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，
解　设第Tr＋1项的系数最大，
∵0≤r≤10，r∈N，∴r＝7，
角度1　求余数和整除的问题 例3　(1)试求2 01910除以8的余数；
解　2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.
证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
跟踪训练3　已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
角度2　证明不等式或求近似值例4　(1)求1.9975精确到0.001的近似值.
延伸探究　求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
＝0.000 06<0.001，且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
1.在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是A.－297 B.－252 C.297 D.207
2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
即r＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80，故r＝4时，即第5项是展开式中的系数最大的项.
3.(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是______.
解析　(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：
②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，
所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.
4.230－3除以7的余数为___.
解析　230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3
又∵余数不能为负数(需转化为正数)，
∴230－3除以7的余数为5.
A.－84 B.84 C.－280 D.280
A.－3 B.－2 C.2 D.3
令10－2r＝2或10－2r＝0，解得r＝4或r＝5.
的近似值(精确到0.01)为
4.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是A.56 B.84 C.112 D.168
A.0 B.8 C.7 D.2
A.x3的系数为40 B.x3的系数为32C.常数项为16 D.常数项为8
展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确.
所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.
9.用二项式定理证明1110－1能被100整除.
证明　1110－1＝(10＋1)10－1
显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除.
解　设展开式中第r＋1项的系数最大，
又因为0≤r≤5，r∈N，所以r＝4，所以展开式中第5项系数最大.
A.0 B.2 C.7 D.8
13.(1＋x)3(1－x＋x2)2展开式中x3项的系数为A.1 B.2 C.－1 D.－2
解析　∵(1＋x)3(1－x＋x2)2＝(1＋x)(1＋x3)2＝(1＋x)(1＋2x3＋x6)，∴展开式中含x3项为2x3，故x3项的系数为2.
即a除以10的余数为1，因为a≡b(md 10)，所以b的值除以10的余数也为1，观察选项，只有2 021除以10的余数为1，则b的值可以是2 021.
15.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为A.7 B.8 C.9 D.10
解析　由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.
解　方法一　由二项式定理得
方法三　由二项式定理的原理可知，展开式的常数项为