2026年新高考数学专题复习学案 26.隐零点问题的常见技巧

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一．基本原理
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程或者，并结合的单调性得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；
第3步：将零点方程或者适当变形，整体代入最值式子进行化简或者含零点的式子中，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计.下面我们通过实例来分析.
二．典例分析
★1.隐零点代换
例1.（四川省成都市2025届高三三诊）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数．
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为．证明：．
解析：（1）
当时，函数在单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增．
（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点；若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．因为当时，；当时，，所以函数有两个零点当且仅当．
设，函数在单调递增．因为的解集为．综上所述，的取值范围是．
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，不等式恒成立；当时，由得．即证．
即证．
即证．设，由
，所以在单调递增．
所以，故原不等式成立．所以．
例2.（2020新高考1卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若，求的取值范围.
解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.
（2）由于,，且.设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此
,故恒成立；
当时，∴不是恒成立.综上所述，实数的取值范围是.
点评：（1）例1告诉我们，隐零点代换的第一个方向是利用隐零点代换掉参数，从而得到不含参数的表达式来解决；
（2）例2告诉我们，处理隐零点的策略是代换掉指对项，从而消掉式子中比较复杂的函数部分，将最终的目标结构代换成简单的多项式或者分式形式等.
★2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例：一类同构式在隐零点问题中的应用：原理分析
例3.已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知
有两个零点有两个相异实根.令，则，
由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，
当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；
（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立
对一切恒成立.令
，，令，，则
，在上单增，又，
，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，
由①知，函数在单调递增，即，，
实数的取值范围为.
注：本题再次涉及隐零点同构，否则的话，很难找到隐零点具体的代换方向！
★3.隐零点的估计.
例4.（2017新课标2卷）已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且 QUOTE e-2