浙江省杭州市2023_2024学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份浙江省杭州市2023_2024学年高一数学上学期期末试题含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.
1. 函数的零点所在的大致区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.
【详解】因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以函数在上增函数，
又，，即，
所以零点所在的大致区间.
故选：A.
2. 设函数，则“”是“为偶函数”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的性质求出，即可判断.
【详解】解：由，得，
由为偶函数，得，
则“”是“”为偶函数的充分必要条件.
故选：C
3. 下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用题给函数在上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C；利用当时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求.
【详解】当时，，.排除A；
由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当时，.排除D；
为奇函数，且当时，，
当时，.B均符合题给特征.
故选：B.
4. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.
【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.
故选：C
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】当时，.
故选：C
6. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论.
【详解】函数的周期为，
由图象可得，令，可得：，
所以，即，又，
所以，，
又因为，所以，所以，
，为定值.
故选：B
7. 已知，，且，则的最小值为（）
A. 9B. 10C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
8. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.
【详解】由题知，由，得到，
令，由对勾函数的图像与性质知，或，且图像如图，
则，即，
又方程恰有三个不同的实数解，，，且，
所以有两根，且，
故，得到，代入，
得到，解得或，
由，得到，由，得到，所以，
所以，
故选：A.
【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（）
A. 设是第一象限角，则为第一或第三象限角
B.
C. 在中，若点满足，则是的重心
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据象限角的概念可判断；对B，根据辅助角公式化简即可；对C，取中点，得出，根据重心的性质可判断；对D，根据，结合向量数乘运算性质即可判断.
【详解】对A，因为是第一象限角，所以，
则，其为第一或第三象限角，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，取中点，则，又，
所以，所以在中线上，且，所以为的重心，故C正确；
对D，因为，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（）
A. 函数的值域为B. 函数的值域为
C. 函数是周期函数D. 函数是减函数
【答案】BC
【解析】
【分析】结合函数性质逐项判断即可得.
【详解】对A：当，则，
当，则，
故函数的值域为，故A错误；
对B：当，则，，
当，则，，
即函数的值域为，故B正确；
对C：，
故函数是周期函数，故C正确；
对D：由函数是周期函数，故函数不是减函数，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（）
A. 图象的对称中心为
B. 在上值域为
C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可得的图象关于对称，在处取得最小值，推得，的值，可得函数解析式，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.
【详解】函数，满足,
可得的图象关于对称，故，即，
由于对任意，都有，
可得在处取得最小值，即，
可得，
则，化简得，
因为，当取最小值时，，可得，
则且，得，所以，
对于A，令，，解得，
则图象对称中心为，故A正确；
对于B，当时，，可得，
所以在上的值域为，故B不正确；
对于C，将的图象向左平移个单位长度得到
的图象，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD
12. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（）
A. B. 的最大值为
C. 最大值为9D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AD，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.
【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对于B，，，
则
，故D错误；
对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，故C正确；
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故B错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】
【详解】函数的定义域为
故答案为
14. 若，，，则，，三数中最小数为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合的范围比较大小即得.
【详解】依题意，，，，
所以三数中最小数为.
故答案为：
15. 在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设的斜率为，点到直线的距离为，则，的直线方程为，由点到直线的距离公式得.
故答案为：
16. 对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是_____________.
【答案】##或
【解析】
【分析】首先解三角不等式求出集合，依题意，则时一定满足，再考虑时，求出时参数的取值范围，即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，
所以，因为，所以，
所以，此时区间长度时一定满足，
故下研究时，此时，
因此满足题意的反面情况或，
解得或，因此满足题意的范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑时，求出时参数的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；
（2）利用诱导公式化简即可求值.
【小问1详解】
∵角的终边与单位圆的交点为，∴，
∵∴，∴.
【小问2详解】
原式.
18. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.
（1）设，，求的值；
（2）若，求的大小.
【答案】（1）6（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【小问1详解】
∵，，∴；
【小问2详解】
∵，
∴.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若，的周长为，面积为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；
（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将表示为的表达式，再利用基本不等式求得的最大值，从而得解.
【小问1详解】
因为，
故，
即，
由正弦定理得，，
整理得到，则，
又，故.
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以，即，
因为，，
所以，
又，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值为.
20. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；
（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求解；
（2）由题意，则即可求解.
【小问1详解】
过作，垂直于，，垂足分别为，，
则，，，，
养殖观赏鱼面积，
由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小.
【小问2详解】
由，可得，
则，，，由题意，
则，
则，结合，则.
21. 设，函数，.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个零点，，试证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；
（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明，即，令，则将原命题转化为证明，显然成立，进而原命题成立得证.
【小问1详解】
，
令，即，
当时，令，所以，
则即，
所以当或时，即或时，无解；
当时，即时，仅有一解；
当即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
【小问2详解】
若有两个零点，，
令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，
则，
所以，所以，
由可得，
所以，则，
由在递减，可得，
所以，所以
令，则
要证成立，
即证：；
即证：，因为显然成立，故原式成立.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．