2024-2025学年安徽省合肥市百花中学等四校高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市百花中学等四校高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )
A. 6B. 5C. 62D. 52
2.曲线y=2sinx+csx在点(π,−1)处的切线方程为( )
A. x−y−π−1=0B. 2x−y−2π−1=0
C. 2x+y−2π+1=0D. x+y−π+1=0
3.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，若|AF|=54x0，则x0等于( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
4.现有2名导游与6位游客站成一排拍照，则导游不站在一起的排法共有( )
A. A77A72种B. A77A62种C. A66A62种D. A66A72种
5.若x=−2是函数f(x)=(x2+ax−1)ex−1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A. −1B. −2e−3C. 5e−3D. 1
6.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种
7.(x+1x)(2x−1x)5的展开式中常数项为( )
A. −40B. −20C. 20D. 40
8.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A. 96B. 84C. 60D. 48
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，下列结论中正确的是( )
A. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋯，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则( )
A. a4=9 B. an+1−an=n+1
C. a10=55 D. i=1n1ai=2nn+1
11.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A. X～B(4,23)B. P(X=2)=881C. E(X)=83D. D(X)=29
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2x−1x)7的展开式中所有项的系数和与二项式系数和分别为______，______．
13.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于 ．
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，S7=63．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−2ax．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(0,−2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为 2，求|AB|．
19.(本小题17分)
2023年9月26日，第十四届中国(合肥)国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园．
(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：
用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：∵渐近线的方程是y=±bax，
∴2=ba⋅4，ba=12，a=2b，
c= a2+b2= 52a，e=ca= 52，
即它的离心率为 52．
故选：D．
先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．
本题考查双曲线的几何性质．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题．
求出原函数的导函数，得到导函数在x=π时的函数值，即切线斜率，再由点斜式直线方程得答案．
【解答】
解：由y=2sinx+csx，得y′=2csx−sinx，
∴y′|x=π=2csπ−sinπ=−2，
∴曲线y=2sinx+csx在点(π,−1)处的切线方程为y+1=−2(x−π)，
即2x+y−2π+1=0．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线C：y2=x的焦点为F(14,0)
∵A(x0,y0)是C上一点，|AF|=54x0，
∴54x0=x0+14，
解得x0=1．
故选：A．
利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：现有2名导游与6位游客站成一排拍照，若导游不站在一起，
则先排6位游客，有A66种排法，
再将2名导游插入7个空中，有A72种放法，
则共有A66A72种放法．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值，属中档题．
求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
【解答】
解： 函数f(x)=(x2+ax−1)ex−1，
可得f′x=(2x+a)ex−1+(x2+ax−1)ex−1，
又x=−2是函数f(x)=(x2+ax−1)ex−1的极值点，
可得f′−2=(−4+a)e−3+(4−2a−1)e−3=0，
即−4+a+(3−2a)=0，解得a=−1．
可得f′x=(x2+x−2)ex−1，
令f′x=0，解得x1=−2，x2=1．
当x1时，f′x>0，f(x)单调递增，
当x∈(−2,1)时，f′x0)．
当a≤0时，f′(x)=1−2axx>0在(0,+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)=1−2axx=0，解得x=12a，
当x∈(0,12a)时，f′(x)=1−2axx>0，
当x∈(12a,+∞)时，f′(x)=1−2axx0，g(x)=lnxx单调递增，
x∈(e,+∞)时，g′(x)0两种情况，求解单调性．
(2)参变分离，得到2a≥lnxx，构造g(x)=lnxx，求导，得到其单调性，求出最大值，得到a≥12e．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：P1=0.5×0.4×0.8=0.16，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
所以甲学校获得冠军的概率为：P=P1+P2=0.6；
(2)乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16，
P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06，
则X的分布列为：
X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13．
【解析】本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，属于中档题．
根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分X的值可取0，10，20，30，分别求出X取上述值时的概率，可得分布列与数学期望．
18.【答案】x24+y22=1；
5．
【解析】解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1中，2a=4，所以a=2，
由e=ca= 22，得c= 22a= 2，
所以b2=a2−c2=2，椭圆的方程为x24+y22=1；
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为y=kx−2，
由y=kx−2x24+y22=1，消去y，整理得(1+2k2)x2−8kx+4=0，
所以Δ=64k2−16(1+2k2)=32k2−16>0，解得k 22；
由x1+x2=8k1+2k2，x1x2=41+2k2，
设直线l交x轴于点M，则M(2k,0)，
所以S△OAB=12|OM|⋅|y1−y2|
=12|2k|⋅|(kx1−2)−(kx2−2)|
=|x1−x2|
= (x1+x2)2−4x1x2
= 64k2(1+2k2)2−161+2k2
=41+2k2 2k2−1= 2，
解得k=± 62，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+32× 2= 5．
(1)由题意求出a，c，即可求出b2，直接写出椭圆的方程；
(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，直线l的方程为y=kx−2，求出直线与x轴的交点坐标，由y=kx−2x24+y22=1，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系，求出x1+x2与x1x2，计算S△OAB的面积，从而求出k的值，即可求出弦长|AB|．
本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)由题，X所有可能取值为0，1，2，
所以P(X=0)=C50C72C122=722，
P(X=1)=C51C71C122=3566，
P(X=2)=C52C70C122=533，
则X的分布列为：
故E(X)=0×722+1×3566+2×533=56；
(2)记“游客乙乘坐观光车游园”为事件A，“游客乙骑自行车游园”为事件B，“游客乙步行游园”为事件C，“游园结束时，乙能参观完所有展园”为事件M，
则由统计表可得P(A)=0.2，P(B)=0.4，P(C)=0.4，
P(M|A)=0.8，P(M|B)=0.4，P(M|C)=0.2，
由全概率公式可得P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C)=0.4，
所以乙能参观完所有展园的概率为0.4．
【解析】(1)由超几何分布的概率公式即可求解；
(2)由全概率公式结合已知条件即可求解．
本题考查了超几何分布的概率计算和全概率公式的应用，属于中档题．游园方式
游园结果
观光车
自行车
步行
参观完所有展园
80
80
40
未参观完所有展园
20
120
160
第一场比赛
第二场比赛
第三场比赛
甲学校获胜概率
0.5
0.4
0.8
乙学校获胜概率
0.5
0.6
0.2
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
P
722
3566
533