河南省许昌市部分学校2024-2025学年高二上学期期中测试数学数学试卷（解析版）

这是一份河南省许昌市部分学校2024-2025学年高二上学期期中测试数学数学试卷（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为直线的斜率，
且，可知直线的斜率，所以的倾斜角为．故选：D．
2. 圆：与圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离
【答案】A
【解析】圆圆心为，半径为；，
则圆的圆心为，半径为.
两圆心之间的距离，且满足，可知两圆相交.故选：A.
3. 在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，.
故选：C.
4. 直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，
则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得，
依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或，
所以直线的方程为或.
故选：D.
5. 在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，
又，两式相减得，
整理得，
所以以点为中点的弦所在的直线方程为，
即.
故选：C.
6. 在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，
设平面的法向量为，
则，令，得，所以，
故，设直线与平面所成角为，
则，所以
故选：D.
7. 已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为直线，可化为，
由，解得，所以l过定点，
又因为点在圆上，且，
又由圆，可得圆心为，半径，
当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时，
所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离；
当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0，
故点P到的距离的取值范围为.
故选：D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为椭圆方程为，
所以，，，
又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以垂直平分线段，所以，又因为，所以，，在直角三角形中，，
于是的面积为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A. 直线l与圆C相交
B. 圆C被y轴截得的弦长为
C. 点C到直线l的距离的最大值是
D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
【答案】ACD
【解析】由，
则，得，即恒过定点，
由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；
令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；
点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，
所以，可得，故直线为，故D正确．
故选：ACD．
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若空间向量，，满足，则
B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C. 若空间向量，，则
D. 对于任意空间向量，，必有
【答案】BD
【解析】若为零向量，有，但不一定成立，A错：
三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对；
若为零向量，，，但不一定成立，C错：
由，，
而，所以，D对.
故选：BD.
11. 正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ）
A. 平面
B. 三棱锥的体积与点的位置有关
C. 的最小值为
D. 当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形
【答案】BCD
【解析】对于A中，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
所以，所以，
因为且平面，所以平面，所以A正确；

对于B中，因为正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，因为，
因为平面，平面，所以平面，
所以棱上的所有点到平面的距离都相等，
又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误；
对于C中，由，
因为，所以，
则，
可得
，
当时，有最小值，最小值为，所以C错误；
对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图（1）所示
过点作，可得，可得，所以，
即，此时平面截正方体截面图形为四边形，所以D不正确.

故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量，，则______．
【答案】
【解析】由题意，，
于是.
13. 已知向量，，，若三个向量共面，则______．
【答案】
【解析】因为三向量共面，所以可设，
即，
所以，解得，，所以.
14. 已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为，
因为两圆外离，
所以圆心距满足，解得，
即实数a的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的三个顶点，，，求：
（1）边上的高所在直线方程；
（2）AC边上的中线所在直线方程及中线的长度．
解：（1）设边上的高所在直线的斜率为，
，则，
由斜截式知边上的高所在直线方程为：，
即边上的高所在直线方程为：.
（2）的三个顶点，，，
故边上的中点，边上的中线所在直线方程为，
即.
边上的中线的长度.
16. 如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．

（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值．
（1）证明：因为底面，底面，则，
由题意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨设，由题意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直线平面.
（2）解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，

则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值.
17. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．
解：（1）首先由可得，
所以直线和相交于点，
所以圆C的半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，
代入圆C方程为可得，此时，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，
根据题意圆心到直线的距离为，
所以，解得，此时直线方程为，
所以直线l的方程为或.
18. 已知椭圆C：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆C上找一点P，使它到直线l：的距离最短，并求出最短距离.
解：（1）由题意可知，∴，，
将点A的坐标代入，解得，则，
故椭圆方程为.
（2）方法一：设与直线l：平行的直线与椭圆相切，
联立直线与椭圆方程得消去y并整理，得，
由其根的判别式，解得.
当时，直线l与直线的距离；
当时，直线l与直线的距离.
由可知，符合题意.
将代入可解得，
将代入可得，
则点P的坐标为，此时距离的最小值为.
方法二：设点，，
则点P到直线l：的距离，
当，即时，d取最小值，最小值为，此时点P的坐标为.
19. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
解：（1）设椭圆的方程为，
由椭圆的定义及的周长为6，知①，
由于为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，得到轴距离最大为，
因为的面积的最大值为，
所以②，
又③，
联立①②③，得，
所以椭圆的方程为.
（2）为定值，理由如下：
根据已知条件作出图形如图所示,

设，
则，
因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点，
联立，
消去得：，
，
又，
且，
所以，同理
所以.
所以为定值.