云南省2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份云南省2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由得：，即；
由得：，即，.
故选：A.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，
所以直线的斜率，即，
又，所以倾斜角.
故选：C.
4. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】对于p而言，，故p是假命题，是真命题.
对于q而言，，，故q是真命题，是假命题.
综上，和q都是真命题.
故选：B.
5. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1，
设圆心关于直线的对称点为，
则，解得，所以圆的标准方程为.
故选：D.
6. 已知正方体内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为．
设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为．
故选：B.
7. 已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分段函数单调递减，函数在个区间上递减，且左边函数在右端点值大于右边函数左端点值，建立不等式组，求得范围.
【详解】为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是.故选：D.
8. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，，则，，即，①.
因为点A在圆上运动，所以满足②.
把①代入②，得，即.
故线段OA的中点P的轨迹方程为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，，则（ ）
A.
B. 直线AB的一个方向向量为
C. 四点共面
D. 点到直线的距离为
【答案】ACD
【解析】，A正确；
，B错误；
由题意得，则，所以四点共面，C正确；
，，，则点到直线的距离为，D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 点是图象的一个对称中心
B. 的单调递增区间为，
C. 在上的值域为
D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
【答案】AC
【解析】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；
令（），则（），
故的单调递增区间为（），B错误；
因为，所以，故在上的值域为，C正确；
将的图象先向右平移个单位长度，
可得函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.
故选：AC.
11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ）
A. 若圆与圆外切，则或
B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
C. 若圆与圆关于点对称，则
D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点
【答案】ABD
【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确．
当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确．
若圆与圆关于点对称，则解得，C错误．
当时，圆：，圆：，
则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________.
【答案】
【解析】根据题意知样本空间，
所以，
事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则，
所以.
13. 已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________.
【答案】
【解析】由题可知，，，
因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），，
即，解得，，所以.
14. 如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为__________.
【答案】
【解析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，，，，
，，设平面的法向量为，
则，
则平面的一个法向量，
所以，即直线平面，
故直线与平面所成角的大小为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
解：（1）由，可知，
故所求直线的方程为，
即.
（2）易知，则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为，
即.
16. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；
（2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.
解：（1）由，解得.
因为，所以中位数在内，
设中位数为x，则，得，
即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.
（2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.25，0.05，
则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人.
记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个，
2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个，
所以这2人来自不同分组的概率为.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A；
（2）若，求的面积的最大值
解：（1）由，可得，即，
因为，所以，解得.
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，则，
所以面积，
当且仅当时，等号成立.
故的面积的最大值为.
18. 已知直线，圆.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值.
解：（1）由圆的方程可知圆心，半径.
直线，即.
因为直线与圆相切，则，解得或.
（2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离.
同样根据点到直线距离公式得.
化简得.解得.
19. 如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，.

（1）求异面直线EB与DF所成角的余弦值
（2）证明：平面平面BDF.
（3）若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值.
（1）解：以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

，，，，则，，
，
故异面直线EB与DF所成角的余弦值为.
（2）证明：取BD的中点O，连接OE，OF，则，
所以，，，，
所以，，，则，
所以.
，，则，又为中点，
所以，，
所以平面BDF.
因为平面EBD，
所以平面平面BDF.
（3）解：因为（），
所以M在线段OE上.
因为，
所以，故N在平面BDF上.
；
设G为MN的中点，
所以，
因为，所以，
故，所以的最小值为.