云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期11月期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期11月期中质量检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,则,解得.
当满足题意；
当,不满足集合元素互异性；
故.
故选：A.
2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，则直线的斜率，
结合直线倾斜角的范围，易知直线的倾斜角为.
故选:A.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，故.
故选：D.
4. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为方程表示圆，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故选：C.
5. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，
由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为2r，
又轴截面面积为，故，
则该圆锥的表面积为，
故选：B
6. 已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，即，
由已知得，所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
7. 过点分别作两条直线与圆分别相切于A、两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，可得圆心，半径，
因为，则，
可得，，
故.
故选:C.
8. 在正方体中，平面经过点B，D，平面经过点A，，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，
所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，
以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为，
因为平面，平面，
所以，
且，，平面，
所以平面，同理平面，
所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，
A1,0,0，，，
，，则.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为
B.
C. 在复平面内的对应点位于直线上
D. 为方程的一个根
【答案】BCD
【解析】对于A，，故，其虚部为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确；
对于D，易得，故D正确.
故选：BCD.
10. 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 平面⊥平面
【答案】ABD
【解析】对于A，因
，故A正确；
对于B，不妨设，，，则构成空间的一个基底.
则依题意：
由 A可得，，
则，
则，故B正确；
对于C，因，故
故C错误；
对于D，如图取的中点E，连接，则，
因为，E为的中点，所以.
又，故有.
因为，平面，所以平面,
又平面，故平面⊥平面，即D正确.
故选：ABD.
11. 若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则的取值可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2，
只需圆心到该直线的距离为2，即，解得，
则选项BC正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______.
【答案】84
【解析】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，
因为，所以分位数为第5个数，即84分.
13. 过曲线上一点A作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，，若直线过原点，则其斜率为______.
【答案】
【解析】不妨设，则，，
由题意可得，解得或，
经过检验不符合，故舍去，
故其斜率为.
14. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则______．
【答案】
【解析】将的图象向左平移个单位长度，得到图象对应解析式为，
若与曲线关于原点对称，可得，
即
，
由于不恒等于0，所以，故．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线与直线.
（1）当为何值时，与平行，并求与的距离;
（2）当为何值时，与垂直.
解：（1）由直线与平行，则，解得，
所以此时直线，
所以与的距离为.
（2）由直线与垂直，则，解得或.
16. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且.
（1）若，求；
（2）若，求面积的最大值.
解：（1）因为，所以由正弦定理得，
又，所以，，
从而.
（2）由余弦定理可知，则，
又，故，
即，故，即，
从而，
当时取等号，即的面积的最大值为3.
17. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点．
（1）求证:平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．
（1）证明：连接，由三棱柱性质可得平面平面，
又平面，故平面；
（2）解：因为平面，平面，
所以，而，故两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系：

则，
连接，则，
由，故，
故直线与直线所成角的余弦值为；
（3）解：设，，则，
设平面的法向量为，
有，令，则，，即，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为.
18. 已知圆的半径为3，圆心在直线：位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.
（1）直接写出的反射光线所在直线的方程；
（2）求圆的方程；
（3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点A，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.
解：（1）设的反射光线所在直线上任意点为，
则该点关于轴对称点直线上，
所以的反射光线所在直线的方程为：.
（2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3，
则，即，
整理得或，
又点在第一象限，即，因此，点，
所以圆的方程为.
（3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点，
由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点A，并与轴交于点，
得点在点的右侧，设，，则，
连接，，，，，
，
又，
整理得，解得，即点，
直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
19. 在以为原点的平面直角坐标系中：过点的直线与圆：交于，两点，圆：.
（1）若，求斜率；
（2）若过点存在无穷多对互相垂直的直线和分别与和相交于，和，两点，和的斜率存在，且，求的值.
解：（1）设Ax1,y1，Bx2,y2，由题意设直线：，
联立，
得，所以得，
，解得.
（2）由题意可得直线、的方程分别为：，，
即：，
将圆化为标准方程为：.
因为，故有：，
化简得：或，
因为过点存在无穷多对互相垂直的直线和，
所以关于的方程有无穷多解，从而有或，
解得或，故或2.