2024年新九年级数学开学摸底考试卷01（人教版）

这是一份2024年新九年级数学开学摸底考试卷01（人教版），共30页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教版八年级下册全部
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级下·河南新乡·期末）宋朝的诗句中写到“又是残春将立夏，如何到处不啼莺”．立夏后的第一周，小明将每日气温情况记录后，绘制了如下折线统计图，下列说法中正确的是（ ）

A．这周最高气温是B．这周的最大温差是
C．这组数据的中位数是D．这组数据的众数是
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直角三角形两边长分别为5和6，则第三边长为（ ）
A．B．C．6D．或
4．（23-24八年级下·四川德阳·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等且相互垂直的四边形是正方形
5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
6．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，平分交于点．若，，则的周长为（ ）
A．16B．14C．10D．8
7．23-24八年级下·陕西·期末已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．函数值随着的增大而增大 B．函数图象不经过第四象限
C．不等式的解集为 D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为
8．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24八年级·北京·期末）如图1，在平面直角坐标系中的四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（ ）
A．l是k的一次函数B．函数l有最大值为3
C．当时，函数l随k的增大而增大D．函数l的图象与横轴的一个交点是
10．（23-24八年级下·广东阳江·期中）如题图，正方形中，点在上，且，点是的中点，点是的中点，延长，与的延长线交于点．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级·河南新乡·期末）某大学自主招生考试需要考查数学和物理．计算综合得分时，按数学，物理占计算．已知小明数学得分为130分，综合得分为118分，那么小明物理得分是 分．
12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计，结果保留根号）
13．（23-24八年级下·北京房山·期末）已知点，在一次函数的图象上，且，则k的取值范围是 ．
14．（北京市东城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为 ．

15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）非零实数，满足，则 ．
16．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为 ．
17．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上一点，过作轴，交直线于点，过作轴，交直线于点，过作作轴，交直线于点，…，依次做下去，若点的纵坐标是1，则的纵坐标是 ．

18．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接且点P是的中点，连接、，则的最小值等于 ．
三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：19-21 每题8分 22-24 每题10分 25-26 每题12分
19．（8分）（23-24八年级下·四川绵阳·期末）计算：(1)；(2)．
20．（8分）（23-24八年级下·四川巴中·期末）巴中市某中学开展了“预防溺水，珍爱生命”的安全知识竞赛，先从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组） A． B． C． D．
其中，七年级名学生的成绩是：
八年级名学生的成绩在C组中的数据是：
根据以上信息，解答下列问题：(1)这次比赛中______年级成绩更稳定；(2)直接写出上述a，b，c的值：______，______，______；(3)该校八年级共人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（）的八年级学生人数是多少？
21．（8分）（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
22．（10分）（2024·八年级·浙江杭州·期中）矩形的顶点E，G分别在菱形的边、上，顶点F，H在菱形的对角线上．(1)求证：；(2)若E为中点，，求菱形的周长．

23．（10分）（23-24八年级下·山东·期末）骑行，是心灵的洗涤，每一步都踏着自由与梦想．周末，小宇爸爸和小轩爸爸一起骑行．他们从永宁门出发，沿着相同的道路骑行去秦岭山脚下．小宇爸爸从永宁门先出发，小时后，小轩爸爸再出发，同时，小宇爸爸减慢骑行速度继续向前骑行．小宇爸爸和小轩爸爸各自与永宁门的距离（千米）与小宇爸爸出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示．
请你根据图中信息，解答下列问题．(1)小轩爸爸骑行的速度为______千米/小时．
(2)求小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式，并写出的取值范围．
(3)当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要多长时间才能到秦岭山脚下？
24．（10分）（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到．______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到．
（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
[知识运用]（1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点)，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出的距离．
25．（12分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线分别交 x轴、y 轴于点 B、点 C，直线交x轴的正半轴于点 A，且．
(1)求直线的解析式；(2)点 D 是线段上一个动点（点D不与点A，C 重合），连接，设点 D 的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过点A作，交直线于点E，交y轴于点F，以为底边作等腰，其中点 G在第四象限内，且 点 H是x轴上的一点，连接．当时，求的最大值，并求出此时点 H的坐标．
26.（12分）（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．

(1)当最小时，的值为 ；(2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系．
新九年级开学摸底考试卷（全国通用，人教版）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教版八年级下册全部
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．
2．（23-24八年级下·河南新乡·期末）宋朝的诗句中写到“又是残春将立夏，如何到处不啼莺”．立夏后的第一周，小明将每日气温情况记录后，绘制了如下折线统计图，下列说法中正确的是（ ）

A．这周最高气温是B．这周的最大温差是
C．这组数据的中位数是D．这组数据的众数是
【答案】D
【分析】本题考查了从折线统计图中获取信息，同时设计到中位数和众数的考查，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据折线统计图以及众数、中位数的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、这周最高气温为，故本选项不符合题意；
B、这周最低气温为，最高气温为，因此温差为，故本选项不符合题意；
C、将气温排列后为：24，26，26，27，30，31，32，因此中位数为，故本选项不符合题意；
D、24，26，26，27，30，31，32中26出现了2次且最多，故众数为26，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直角三角形两边长分别为5和6，则第三边长为（ ）
A．B．C．6D．或
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边为5和6时；当斜边长为，一条直角边长为时；分别利用勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
当直角三角形的两直角边为5和6时，第三边长为，
当斜边长为，一条直角边长为时，第三边长为，
综上所述，第三边长为或，故选：D．
4．（23-24八年级下·四川德阳·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等且相互垂直的四边形是正方形
【答案】C
【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形也满足此条件，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意；
D、对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
，，
，，（负值舍去），
的周长，故选：C．
6．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，平分交于点．若，，则的周长为（ ）
A．16B．14C．10D．8
【答案】A
【分析】此题考查平行四边形的性质，等角对等边，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得是解题的关键．
首先根据平行四边形的性质得到，，结合角平分线的概念得到，求出，进而求解即可．
【详解】∵在中，∴，∴
∵平分交于点∴∴
∴∴∴
∴的周长为．故选：A．
7．23-24八年级下·陕西·期末已知一次函数（），小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．函数值随着的增大而增大 B．函数图象不经过第四象限
C．不等式的解集为 D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】C
【分析】先用待定系数法求一次函数解析式，再用一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，即可选出正确选项．
【详解】解：由表格可得一次函数经过点，，
将两点代入（）中，可得，解得，
所以一次函数函数关系式为；
A、由于，即函数值随着的增大而减小，故选项错误；
B、由于，，故函数图象经过第四象限，故选项错误；
C、将代入，解得，故根据，不等式的解集为解集为，故选项正确；D、由表格可得一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为，，即图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，故选项不正确；故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，
由折叠可得：，，，，
∴四边形是矩形，∴，
∴，∴，∴，
设，则，在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，即，故选：B．
9．（23-24八年级·北京·期末）如图1，在平面直角坐标系中的四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（ ）
A．l是k的一次函数B．函数l有最大值为3
C．当时，函数l随k的增大而增大D．函数l的图象与横轴的一个交点是
【答案】D
【分析】本题考查了函数图像读取信息，一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点，根据函数图像可以之间判断函数的增减性，是不是一次函数，最大值是否存在，然后再结合图1，判断函数的最值为直线时，当时，即时，函数与x轴有两个交点，可以求出即可作出判断．
【详解】解：A、由图2可知，l不是k的一次函数，不符合题意；
B、由图2可知，当时，l有最大值， 当时，即直线，
l有最大值为2，故本选项错误，不符合题意；
C、由图2可知，当时，函数l随k的增大而减小，故本选项错误，不符合题意；
D、当时，即时，过，两点或过，两点，
当，过两点时，，函数l的图象与横轴的一个交点是，正确，故选项D符合题意，故选：D．
10．（23-24八年级下·广东阳江·期中）如题图，正方形中，点在上，且，点是的中点，点是的中点，延长，与的延长线交于点．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
设正方形边长为，求出、、，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．
【详解】设正方形边长为，
∵四边形是正方形，
，
∵，点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴是直角三角形，故②正确；
，
是中位线，
，故①正确；
在中，
，
，
，
∴，故③正确；
，
，故④正确；故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级下·河南新乡·期末）某大学自主招生考试需要考查数学和物理．计算综合得分时，按数学，物理占计算．已知小明数学得分为130分，综合得分为118分，那么小明物理得分是 分．
【答案】100
【分析】此题考查了加权平均数．先计算小明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分数学得分的折算后的得分，计算出的结果除以即可．
【详解】解：．故答案为：100．
12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计，结果保留根号）
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图：
将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当时点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，由题意可得：，
∵．
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故答案为．
13．（23-24八年级下·北京房山·期末）已知点，在一次函数的图象上，且，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
由时，，根据一次函数的增减性，得到，即可得到答案．
【详解】解：点，在一次函数的图象上，
又∵，且，即y随x增大而减小，，故答案为：．
14．（北京市东城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∵四边形为正方形，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵正方形的面积为5，∴，故答案为：．
15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）非零实数，满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平方差公式，解题的关键熟练运用平方差公式；先运用平方差公式找到与的关系式；代入，通分化简即可．
【详解】两边同时乘以，可得：
可得：把代入故答案为：
16．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形的对角线交于点O，过点O作交于点F．若，则长为 ．
【答案】13
【分析】本题考查矩形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，连接，矩形的性质结合，得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵矩形的对角线交于点O，∴，，，
∵，∴垂直平分，∴，设，则：，
在中，由勾股定理，得：，解得：，∴；故答案为：13．
17．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上一点，过作轴，交直线于点，过作轴，交直线于点，过作作轴，交直线于点，…，依次做下去，若点的纵坐标是1，则的纵坐标是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类，找出的纵坐标是解题的关键．
由题意分别求出，，，的坐标，找出的纵坐标的规律，即可求解．
【详解】点的纵坐标是1，，，
过作轴，交直线于点，过作轴交直线于点，…，依次作下去，
∴，，，，，…
可得的纵坐标为，∴的纵坐标是．故答案为：．
18．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接且点P是的中点，连接、，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识．
首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，，即可．
【详解】解：过P作于点N，交于点M，
由题意，，∴，
∵点P是CE的中点，∴，∴，∴，
则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上
过点D作于点F，则此时点D和F关于直线l对称，
连交直线l于点H，连，则，
当点P与点H重合时，的值最小，
由题意，，，
∴，，
∴ 故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：19-21 每题8分 22-24 每题10分 25-26 每题12分
19．（8分）（23-24八年级下·四川绵阳·期末）计算：(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的乘除法计算即可；
（2）根据二次根式的化简，二次根式的乘法计算即可；
【详解】（1）
（3分）
；（4分）
（2）
（7分）
；（8分）
20．（8分）（23-24八年级下·四川巴中·期末）巴中市某中学开展了“预防溺水，珍爱生命”的安全知识竞赛，先从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组） A． B． C． D．
其中，七年级名学生的成绩是：
八年级名学生的成绩在C组中的数据是：
根据以上信息，解答下列问题：(1)这次比赛中______年级成绩更稳定；(2)直接写出上述a，b，c的值：______，______，______；(3)该校八年级共人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（）的八年级学生人数是多少？
【答案】(1)八(2)，，(3)人
【分析】（1）由，可知八年级成绩更稳定；（2）由题意知，C组所占百分比为，根据，求解即可；由题意知，，由八年级组有4人，可知中位数落在组为，求解作答即可；（3）根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，∴八年级成绩更稳定，故答案为：八；（2分）
（2）解：由题意知，C组所占百分比为，
∴，即；（3分）
由题意知，，（4分）
∵八年级组有4人，∴中位数落在组为，（5分）
故答案为：，，；
（3）解：∵，
∴估计参加此次活动成绩优秀（）的八年级学生人数是人．（8分）
【点睛】本题考查了扇形统计图，方差与稳定性，中位数，众数，用样本估计总体等知识．熟练掌握扇形统计图，方差与稳定性，中位数，众数，用样本估计总体是解题的关键．
21．（8分）（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】(1)12尺(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．
【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，(尺)；（3分）
在中，由勾股定理得：，
即，解得：；即尺；答：水池的深度为12尺；（4分）
（2）证明：水池深度，则芦苇高度为，由题意有：；
为中点，且，；（6分）
在中，由勾股定理得：，
即，整理得：；表明刘徽解法是正确的．（8分）
22．（10分）（2024·八年级·浙江杭州·期中）矩形的顶点E，G分别在菱形的边、上，顶点F，H在菱形的对角线上．(1)求证：；(2)若E为中点，，求菱形的周长．

【答案】(1)见解析(2)16
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用AAS证明．
（1）根据矩形的性质得出，，进而利用AAS证明，利用全等三角形的性质解答即可；（2）连接，根据菱形的性质解答即可．
【详解】（1）解：证明：在矩形中，，，∴，（1分）
∵，∴，（2分）
在菱形中，，∴，（3分）
在与中，，（4分）
∴，∴；（5分）
（2）如图，连接，在菱形中，，，（6分）
为的中点，，
由（1）知，，∴，（7分）

又，四边形是平行四边形，，（8分）
在矩形中，，，即菱形的边长为4．（9分）
∴菱形的周长为．（10分）
23．（10分）（23-24八年级下·山东·期末）骑行，是心灵的洗涤，每一步都踏着自由与梦想．周末，小宇爸爸和小轩爸爸一起骑行．他们从永宁门出发，沿着相同的道路骑行去秦岭山脚下．小宇爸爸从永宁门先出发，小时后，小轩爸爸再出发，同时，小宇爸爸减慢骑行速度继续向前骑行．小宇爸爸和小轩爸爸各自与永宁门的距离（千米）与小宇爸爸出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示．
请你根据图中信息，解答下列问题．(1)小轩爸爸骑行的速度为______千米/小时．
(2)求小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式，并写出的取值范围．
(3)当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要多长时间才能到秦岭山脚下？
【答案】(1) (2)， (3)小时
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由图象即可得出小轩爸爸骑行的速度．（2）利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数图象，即可出的取值范围．（3）利用待定系数法求出小轩爸爸骑行的函数解析式，将代入解析式，可得，故根据图象可得两人到达时间差小时，即可求解．
【详解】（1）解：由图象可得小轩爸爸在开始骑行一小时内，骑行了千米，
∴小轩爸爸骑行的速度为千米/小时，故答案为：．（2分）
（2）设小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式为，
由图象可得其经过，，
将其代入中，可得，解得，
故函数解析式为，的取值范围是．（6分）
（3）设小轩爸爸小时出发时，与永宁门的距离与之间的函数解析式为，
由图象可得其经过，，将其代入中，
可得，解得，故函数解析式为，（8分）
将代入上式，可得，解得，（9分）
由图像可得小宇爸爸小时到达秦岭山脚下，而小轩爸爸小时到达秦岭山脚下，
故两人到达时间差（小时），
∴当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要小时才能到秦岭山脚下．（10分）
24．（10分）（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到．______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到．
（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
[知识运用]（1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点)，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出的距离．
【答案】【背景介绍】，，，
[知识运用]（1）；（2）
【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握勾股定理和基本作图是解题的关键．根据题意，设，根据题意，得，，继而得到，，根据题意，，整理即可．
[知识运用]（1）过点C作于点E，判定四边形是矩形，
得到，利用勾股定理解答即可；
（2）作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P即为所求，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：根据题意，设，
根据题意，得，，
∴，，
根据题意，，整理，得．（2分）
（1）解：连接 过点C作于点E，由，则四边形是矩形，

∴，
由勾股定理，得；故答案为：．（5分）
（2）解：根据题意，得作线段的垂直平分线，与交于点P，如图所示，
则点P即为所求．设，（6分）
根据题意，得，故，
根据勾股定理，得，（8分）
故，解得 故的距离为．（10分）
25．（12分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线分别交 x轴、y 轴于点 B、点 C，直线交x轴的正半轴于点 A，且．
(1)求直线的解析式；(2)点 D 是线段上一个动点（点D不与点A，C 重合），连接，设点 D 的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过点A作，交直线于点E，交y轴于点F，以为底边作等腰，其中点 G在第四象限内，且 点 H是x轴上的一点，连接．当时，求的最大值，并求出此时点 H的坐标．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）先求出，，进而求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，过点D作轴于K，则，根据进行求解即可；（3）过点 D作轴于R，过点G作于P，过点G作直线轴交 y轴于T， 过点 A 作于 N， 过点 E作于M， 交x轴于 L．则四边形是平行四边形，， 可得，证明， 得到，可得，同理可得直线的解析式为，则可求出；证明四边形为矩形得到，由勾股定理得到，由等面积法得到，则， ；证明，得到，令，则，则，解得，， ，证明四边形 OLMT 为矩形， 得到， 则，再证明的最大值为 此时点 H是直线与x轴的交点，同理可得直线 的解析式为 当时，，可得．
【详解】（1）解：在中，当时，，
当时，，则， ∴，，
∴， ∴， ∴，（1分）
设直线解析式为，
解得，∴直线 的解析式为；（2分）
（2）解：∵点D 是线段上一个动点， 且横坐标为t ，∴，
如图所示，过点D作轴于K，则，（3分）
∵， ∴，（4分）
；（5分）

（3）解：过点 D作轴于R，过点G作于P，过点G作直线轴交 y轴于T， 过点 A 作于 N， 过点 E作于M， 交x轴于 L．
∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，（6分）
又∵， ∴，
∴， ∴，
∴， ∴，
同理可得直线的解析式为，（7分）
联立，解得 ∴；
∵，∴，
∴， ∴四边形为矩形，
， （8分）
在中，， ，
， ，
∵，，
∴ （9分）
又∵， ，∴，
∴∴，
又∵， ∴，
又∵，∴，∴，
令，则，（10分）
∵， ， ，
∴，
∵，
∴四边形 OLMT 为矩形， ∴， ∴，（11分）
当点 G， E， H在同一条直线时， ，
当点 G， E， H不在同一条直线时， 在中，
综上所述： 的最大值为
此时点 H是直线与x轴的交点
同理可得直线 的解析式为
当时，，， ．（12分）
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造矩形，直角三角形是解题的关键．
26.（12分）（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．

(1)当最小时，的值为 ；(2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系．
【答案】(1)(2)为，理由见解析(3)
【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案；
（2）过点作于点，则，证出，则可得出结论；（3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论．
【详解】（1）解：∵将沿翻折，
∴，，，
∵，即，
∴当，，三点共线时，有最小值，此时，
如图，设，∵四边形是正方形，∴，
∴，∴，
∴，
∴．故答案为：；（2分）

（2）为．理由如下：过点作于点，∴，（3分）
∵四边形是正方形，∴，，
∵将沿翻折，使点落在点处，∴，，（4分）
又∵，∴，又∵，∴，（5分）
又∵，，∴，
∴，即，（6分）
又∵，∴；（7分）

（3）．（8分）
理由如下：过点作，交的延长线于点，，
又∵，∴，∴，（9分）
∵，∴，（10分）
∵，∴，即，
在和中，，∴，（11分）
∴，∴，即．（12分）

【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．…
…
…
…
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
b
八年级
c
…
…
…
…
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
b
八年级
c