2024年新九年级数学开学摸底考试卷（北师大版）

这是一份2024年新九年级数学开学摸底考试卷（北师大版），共25页。试卷主要包含了考试范围，下列因式分解正确的是，以下说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：北师大版八下全部、九上第一、二章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．分式的值为0，则的值是
A．0B．C．1D．0或1
3．与9的差不大于1，用不等式表示为
A．B．C．D．
4．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是
A．B．C．D．
5．下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
6．以下说法错误的是
A．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B．六边形内角和为
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为
A．B．
C．D．
8．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为
A．B．C．2D．4
9．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为
A．4B．5C．8D．10
10．如图，平行四边形的对角线交于点，过点且分别交，于点，，在上找点，（点在点下方），使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是
A．甲、乙、丙B．只有甲、乙C．只有甲、丙D．只有乙、丙
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
12．如图，的对角线，相交于点，点，在的上，添加一个条件使，这个条件可以是 （写出一个即可）．
13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
14．足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ．
15．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
17．（9分）如图，点在上，，．
（1）若，求的度数；
（2）若平分，求证：．
18．（9分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求的值．
19．（11分）【项目情境】
校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为（份，甲、乙两个印刷厂的收费分别为（元和（元．
【项目解决】
目标1：确定甲、乙两厂的收费标准．
（1）分别求、关于的函数表达式．
目标2：给出最终选择方案．
（2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？
20．（12分）在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
21．（12分）矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，．
（1）如图1，求的长度；
（2）如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作，于点．
①请证明在、运动的过程中，四边形是平行四边形；
②连接，当为何值时，为直角三角形？
22．（12分）【问题情境】：如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
（3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
新九年级开学摸底考试卷（全国通用，北师大版）
数 学
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：北师大版八下全部、九上第一、二章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2．分式的值为0，则的值是
A．0B．C．1D．0或1
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
3．与9的差不大于1，用不等式表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】与9的差即为，不大于1即小于等于1，据此列不等式即可．
【解答】解：与9的差不大于1，用不等式表示为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了列不等式，读懂题意是关键．
4．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
5．下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【解答】解：．，故选项分解错误；
．，故选项解错误；
．，故选项分解正确；
．，故选项分解错误．
故选：．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
6．以下说法错误的是
A．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B．六边形内角和为
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于
【答案】
【分析】利用等腰三角形的性质、多边形内角和、线段垂直平分线的性质及反证法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，原说法正确，不符合题意；
、六边形内角和为，原说法错误，符合题意；
、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，原说法正确，不符合题意；
、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于，原说法正确，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查了反证法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及多边形内角与外角，熟记相关性质或解答方法即可作出正确判断．
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，
由题意得：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为
A．B．C．2D．4
【答案】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【解答】解：对角线，交于点，，
，
菱形的边长为，
，
，
，
菱形的面积，
故选：．
【点睛】本题考查了菱形面积的计算以及勾股定理在直角三角形中的运用，菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半．
9．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为
A．4B．5C．8D．10
【答案】
【分析】连接、，由矩形的对角线相等得出的长，由三角形中位线定理得出的长，再次利用三角形中位线定理即可求出的长．
【解答】解：如图，连接、，
四边形是矩形，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，关键是连接、，构造三角形中位线．
10．如图，平行四边形的对角线交于点，过点且分别交，于点，，在上找点，（点在点下方），使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是
A．甲、乙、丙B．只有甲、乙C．只有甲、丙D．只有乙、丙
【答案】
【分析】结合题中所给方案，分情况，依照平行四边形的判定与性质即可得证．
【解答】解：甲方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形；
乙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，，
，则，
在和中，
，
，
在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形；
丙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，，
在和中，
，
，
平分；平分；
，
在和中，
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形；
综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
故选：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：的解集为，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于0是解题的关键．
12．如图，的对角线，相交于点，点，在的上，添加一个条件使，这个条件可以是 （答案不唯一） （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形的性质得出，由全等三角形的判定可得出结论．
【解答】解：添加．
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 1 ．
【答案】1．
【分析】由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于的方程，解答即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△，此题难度不大．
14．足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ．
【答案】．
【分析】求出正六边形，正五边形的每个内角度数，即可求出的度数．
【解答】解：正六边形的每个内角，正五边形的每个内角，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的性质，关键是掌握正多边形的每个内角相等．
15．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为 ．
【答案】．
【分析】连接、，过点作于，先证明，得出，，再证明，得出，求出的周长，由四边形的周长，即可得出答案．
【解答】解：连接、，过点作于，如图所示：
，
四边形是正方形，
，，，
由折叠的性质得：，，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
的周长，
四边形的周长，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）
，，，
△，
；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集是：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程以及解一元一次不等式方程组．熟练掌握公式法解一元二次方程是关键．
17．如图，点在上，，．
（1）若，求的度数；
（2）若平分，求证：．
【答案】（1）的度数是；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由，得，则，由，得；
（2）由，，得，则，所以四边形是平行四边形，则．
【解答】（1）解：，，
，
，
，
，
的度数为．
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键．
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【解答】（1）证明：，，，
△
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：该方程两个实数根的和为3，
，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
19．【项目情境】
校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为（份，甲、乙两个印刷厂的收费分别为（元和（元．
【项目解决】
目标1：确定甲、乙两厂的收费标准．
（1）分别求、关于的函数表达式．
目标2：给出最终选择方案．
（2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？
【答案】（1）；；
（2）印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于2500本时，选择甲厂．
【分析】（1）求出甲厂每本收费（元，可得；设，把，代入得：，即可解得；
（2）分三种情况讨论：当，即时，，当，即时，，当，即时，，故印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于2500本时，选择甲厂．
【解答】解：（1）由图象可知，甲厂每本收费（元，
；
设，把，代入得：
，
解得，
；
（2）当，即时，
解得：，
印制数量大于2500本时，选择乙厂；
当，即时，
解得：，
印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；
当，即时，
解得：，
印制数量小于2500本时，选择甲厂；
答：印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于2500本时，选择甲厂．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和分类讨论思想的应用．
20．在今年的3月12日第43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用7600元购买甲、乙两种树苗共200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【答案】（1）甲种树苗每棵40元．
（2）至少要购买乙种树苗67棵．
【分析】（1）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵，根据总费用不超过7600元列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元．
依题意列方程得，，
，
解得，
经检验是原方程的根．
答：甲种树苗每棵40元．
（2）设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵，
根据题意，得，
解得，
为整数，
的最小值为67．
答：至少要购买乙种树苗67棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
21．矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，．
（1）如图1，求的长度；
（2）如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作，于点．
①请证明在、运动的过程中，四边形是平行四边形；
②连接，当为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；
②秒或秒．
【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得，，则，然后由含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）①由题意得：，，再证，，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可得出结论；
②分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别由含角的直角三角形的性质和全等三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
；
（2）①证明：由题意得：，，
则，
，，
，，
由（1）得：，
，
，
四边形是平行四边形；
②解：分三种情况：
、当时，，如图2所示：
，，
，，
，，
，
即，
解得：；
、当时，点、重合，不能构成；
、当时，如图3所示：
过作于，
则四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，当为秒或秒时，为直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、折叠变换的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、含角的直角三角形的性质是解题的关键．
22．【问题情境】：如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
（3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①正方形，理由见解析；②；
（3）．
【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；
（2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；
②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可；
（3）的最小值就是初始位置时的长度；当落在的延长线上时，，最长，即可得出答案．
【解答】解：（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）①四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
②过点作于点，如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）点不会在线段上，
的最小值就是初始位置时的长度，
当落在的延长线上时，，最长，
线段长度的取值范围是．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型．