江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期期中调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期期中调研数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 等差数列中，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】因为经过点的直线的斜率为2，
所以，且，解得.
故选：D.
2. 等差数列中，，则的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d，则，
因为，所以，所以，
故选：A.
3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设Mx,y，由题可知，
故选：D.
4. 在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（ ）
A. B. 或4C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由为等比中项可知，，
又可知，所以，
故选：C.
5. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得且，
解得.
故选：B.
6. 等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（ ）
A. 9B. 11
C. 13D. 不能确定
【答案】C
【解析】因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差.
而，
故当且仅当即时，为定值.
故选：C.
7. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】A
【解析】设直线与直线的两个交点为，且设，
则由题意可知，点关于点的对称点在上，
所以，解得，所以，，
所以,
因为直线过点，，所以直线的斜率，
所以直线的方程为：，即，
联立：，解得的交点坐标为，
所以到直线的距离为，
所以这三条直线围成的三角形面积为.
故选：A.
8. 已知数列的前项和为，且则的值为（ ）
A. 1023B. 1461C. 1533D. 1955
【答案】B
【解析】由题意：，
.
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以.
所以
，
.
所以.
故选：B.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知数列是等差数列，是等比数列，.（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】设等差数列的公差为，
当时，，
故A正确；
当公差时，是常数列，，但与不一定相等，
故B不正确；
设等比数列的公比为，
若“”，则，
故C正确；
当公比时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确.
故选：AC.
10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（ ）
A. 点在同一条直线上
B. 点在同一条直线上
C. 点在同一条直线上
D. 点（均为正整数，且为常数）在同一条直线上
【答案】ACD
【解析】对A：因为，，
所以点都在直线上，故A正确；
对B：因为，
所以点都在二次函数上，故B错误；
对C：因为，
所以点都在直线上，故C正确；
对D：因为
，
所以点都在直线上，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知直线，圆，则（ ）
A. 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4
B. 若与圆相交于两点，且，则
C. 若圆上恰有四个点到的距离为1，则
D. 若对于两个不同的值，与圆分别相切于点，，则所在直线的方程是
【答案】BCD
【解析】对于A，由得，所以直线过点，
又因为直线与坐标轴的正半轴围成的三角形，所以；
令，得，令，得，
所以直线与两坐标轴的正半轴的交点分别为，，
所以直线与坐标轴的正半轴围成的三角形面积；
当且仅当，即时，等号成立，
所以三角形面积最小值是4，故A不正确；
对于B，因为，所以，
所以，
所以圆心到直线的距离，
即，解得，故B正确；
对于C，因为圆上恰有四个点到的距离为1，
所以圆心到直线的距离，解得，
故C正确；
对于D，因为直线恒过点，
所以直线就是经过以为圆心，为半径的圆和圆的交点所在的直线，，
所以，所以圆的方程为，
所以直线的方程为，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.
12. 已知两点到直线的距离相等，则的值为______.
【答案】或
【解析】由题意可得，，
即，
解得或.
13. 已知等比数列满足，则__________.
【答案】
【解析】设公比为.
因为，故，解得或者，
若，则且，
此时，
若，则且，
此时.
14. 如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________.

【答案】
【解析】以为邻边，作矩形，则，
由矩形性质可得，证明如下：
设，
过点分别为⊥，⊥，⊥，垂足分别为，
过点作⊥，垂足为，
则，
故，
，
所以，
，
，
所以，
证毕，

即，故，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
左边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
右边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
则的取值范围是.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，
依题意，，，
解得，所以.
（2）由（1）得，
所以
，
两式相减得
，
所以.
16. 已知的三个顶点是，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程；
（3）的角平分线所在直线的方程.
解：（1）首先求BC中点坐标，已知，
根据中点坐标公式，BC中点，
已知中线过和两点，根据两点式，
即，化简得，整理得.
（2）先求BC边的斜率，已知，
根据斜率公式，
因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得，
又因为高过点，根据点斜式，整理得.
（3）先求AB边的斜率，BC边的斜率，
设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简
交叉相乘得，
继续化简，即或，
继续化简（舍去），或，即，
因为角平分线的斜率应该在和之间，所以，
又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得.
17. 已知数列满足且.
（1）求；
（2）证明数列是等比数列，并求.
（1）解：当时，，
当时，，
（2）证明：∵
∴得到，∴，
又满足上式，∴，
则代入①得：，
则，
∴，且，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴，
∴.
18. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
解：（1）因为，
所以，直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，
则，
所以
（2）取的中点为，如图，

假设存在弦被点三等分，设，，
则，，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在，
设斜率为，则：，，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为.
（3）由题意知，,
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，
又，
所以
综上，为定值.
19. 已知点，向量，点一条直线上，且满足.
（1）求；
（2）证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径；
（3）过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：.
（1）解：设，则由题意可知，
所以，即分别成公差为1的等差数列，
由已知，
则，即，所以；
（2）证明：设，即，
因为共线，且满足，则有，
当时，易知，即，
此时，
即，
当时，解方程组可得，也满足上式，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
圆心和半径；
（3）解：由（2），解方程得，
则，
所以处切线方程斜率为，
则切线方程为，
令得，即，
易知，
则
，证毕.