江苏省苏州市2022-2023学年高二数学上学期期末调研试题（Word版附解析）

苏州市2022~2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

高二数学  2023.01

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.记正项数列的前项和为，且是等比数列，且，，则（）

A.16 B.4 C.8 D.

2.直线的倾斜角是（）

A. B. C. D.

3.设数列各项非零，且平面的法向量为，直线的方向向量为，则“数列为等比数列”是“平面平行于直线”的（）

A.充分必要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

4.记椭圆的左焦点和右焦点分别为，，右顶点为.过且倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为，且在轴上的投影为.连接，的方向向量，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

5.如图，正方形的边长为14cm，，，，依次将，，，分为的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形、、…、.一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为，为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是（）

A.19 B.20 C.21 D.22

6.已知数列，且，记其前项和为.若是公差为的等差数列，则（）

A.200 B.20200 C.10500 D.10100

7.如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱的轴线在平面内且平行于轴，圆锥与圆柱的高相同.为圆锥底面圆的直径，，且.若到圆所在平面距离为2.若，则与夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

8.在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面上水平放置着一个半径为0.5m的正圆，其圆心与絮语同学所站位置距离2m.若絮语同学的视平面，，且，，则絮语同学视平面上的图形的离心率为（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9.已知直线，，设两直线分别过定点、，直线和直线的交点为，则下列结论正确的是（）

A.直线过定点，直线过定点 B.

C.面积的最大值为5 D.若，，则恒满足

10.设平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点.若是上的一点，下列说法正确的是（）

A.和不存在交点  

B.若，则直线与相切

C.若是等腰三角形，的坐标是

D.若，则的横坐标为

11.数列是百余年前的发现，在近代数论中有广泛的应用。数列是把中的分母不大于的分子与分母互质的分数从小到大排成一列，该数列称为阶数列，记为，并记其所有项之和为.数列还有一个神奇的性质.若设的相邻两项分别为，，则.下列关于数列说法正确的是（）

A.  B.数列中共有18项

C.当时，的最中间一项一定是 D.若中的相邻三项分比为，，，则

12.如图1，《瀑布》是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点为该正方体的中心，，，轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着轴，轴，轴旋转45°，得到的三个正方体，结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（）

A.设点的坐标为，，则

B.设，则

C.点到平面的距离为

D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.已知，，且，则______.

14.若数列和数列同时满足，，，，则______，______.

15.若，且在上，在圆上，则的最小值为______.

16.已知圆的直径上有两点，，且有，为圆的一条弦，则的范围是______.

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，关于基础的音乐理论的著作浩如烟海，是学习音乐的必修课程.我们平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，解决有关声音的性质、律制、记谱法、音乐的基本要素、音与音之间结合的基本规律等等，而记谱（和读谱）的方法是其中很重要的一个部分。音乐是人类共同的语言.音乐中，我们常用音阶描述音符音调高低的关系，即1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（sol），6（la），7（ti），i（do）.如图，在钢琴上，一个八度内白键、黑键共有13个（不计入图中最右侧的半个黑键），相邻琴键对应的音符频率比相等且1的频率与的频率比为2.

（1）若两音与的音程关系为一度，求两音的频率比；

（2）利用“五度相生”可以构造出被称为“宫商角徵羽”的五声音阶.设1的频率为，在1的基础上不断升高五度，生成新的音符，并为方便辨认新的音符，将生成的频率大于的音降一个八度，请你利用五度相生的理论推断出“宫商角徵羽”可能对应的音符（无需一一对应）.

参考数据：

18.（本小题满分12分）

已知抛物线，记其焦点为.设直线到在直线左侧的抛物线上的一点的距离为，且.

（1）求的方程；

（2）如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若分别交于两点，交抛物线于、两点，证明：为定值.

19.（本小题满分12分）

如图，三棱锥中，，且平面平面，，设为平面的重心，为平面的重心.

（1）棱可能垂直于平面吗？若可能，求二面角的正弦值，若不可能，说明理由；

（2）求与夹角余弦值的最大值.

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为3.

（1）求的轨迹；

（2）记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程.

21.（本小题满分12分）

（1）如图，一个半径为的圆在一条直线上无滑动地滚动，与轴的切点为，设，圆上一点.

①设平行于轴的单位向量为，平行于轴的单位向量为，用表示；

②在①的条件下，用题中所给字母表示，并以的形式写出运动轨迹的方程.

（2）如图，设点在空间直角坐标系内从开始，以的角速度绕着轴作圆周运动，同时沿着平行于轴向上作线速度为的匀速直线运动.用题中所给字母表示的运动轨迹的方程.

22.（本小题满分12分）

已知平面直角坐标系内一椭圆，记两焦点分别为，，且.

（1）求的方程；

（2）设上有三点、、，直线、分别过，，连接.

①若，求的面积；

②证明：当面积最大时，必定经过的某个顶点.

苏州市2022~2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

高二数学参考答案 2023.01

一、单项选择题：

1.【答案】C

【解析】由等比数列的性质，，，，因此，取，所以，，因此，，因此.

2.【答案】B

【解析】直线方程可化为，可知倾斜角满足，因此.

3.【答案】D

【解析】若已知数列为等比数列，则可知，因此，所以可知，但无法得知是否在平面内，因此充分性不成立；若已知平面平行于直线，则可知，根据定义，及即可得到，即，但不能认为为等比数列，即必要性不一定成立.

4.【答案】C

【解析】画出图形：

由于，可知，即.由此得到，，，所以离心率.

5.【答案】C

【解析】由题意可知，，.所以，因此由数学归纳的思想可知，.设数列，则，因此，选C.

6.【答案】D

【解析】容易得到的首项，因此，，将替换为，则有，两式相减得.由于，，所以，可得，因此，所以.

7.【答案】C

【解析】设，.，，所以，，

所以

所以，，这里取，所以，，

因此由余弦定理，.

8.【答案】D

【解析】画出题中所述图：

可知圆在视平面上得到的是椭圆，且长轴长为圆的直径，即

通过相似关系，由及，代入数据：，，

所以，所以，，所以.

二、多项选择题：

9.【答案】AB

【解析】对于A，可化作，可发现过定点，同理，过定点，A正确；

对于B，可知恒成立，因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，可知在圆上运动，设，而由题设，化简可得，与的方程不符合，故D错误.

10.【答案】BD

【解析】对于A，联立：，发现有解，A错误；

对于B，，因此的方程为，与抛物线方程联立，解得仅一解，B正确；

对于C，不在抛物线上，故C错误；

对于D，，，因此，解得D正确.

11.【答案】CD

【解析】对于A，每个数列内同分母的所有项相加不等于1，也不成立，A错误；

对于B，列举可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19项，B错误；

对于C，由于数列按照大小排列，因此中间一项一定为，C正确；

对于D，由于，，整理即可得到，D正确.

12.【答案】ACD

【解析】正方体棱长为2，面对角线长为，由题意，，，，

旋转后，，，，

，，，，

，，，，

对于A，旋转过程中，正方体的顶点到中心的距离不变，始终为，

因此选项A中，，2，3，正确；

，设，

则，

，，则存在实数，使得，

，

，，∴，B错误；

，，设是平面的一个法向量，

则，令，得，又，

∴到平面的距离为，C正确；

，设，，

，，

令，则∴，又，，

所以，即，，

所以，夹角的最小值为，从而直线与直线所成角最小为，D正确.

三、填空题：

13. 14.； 15.1 16.

13.【答案】

【解析】，.

14.【答案】；

【解析】令前式-后式，化简可得①，

令前式+后式，化简可得②

由①，且，故是首项为1，公差为2的等差数列.可得

由②，且，故是首项为1，公比为的等比数列.可得

所以.

15.【答案】1

【解析】如图，

等号在、、共线时取到.

16.【答案】

【解析】方法一：

以方向为轴，为原点建立平面直角坐标系，则，，，.

由于圆，故设，，

则，

化简可得：，

因此.

令，则，等号可取.

，

令，则，等号可取.

综上，.

方法二：

由于

，且.

所以，所以.

四、解答题：

17.本题考查数列的定义及其数学文化，考察了学生数学运算、数学抽象与逻辑推理能力，本题满分10分.

解：

（1）由题，若两个音距离一个八度，则频率比为2，

所以若两个音的音程为一度，半个音（即相邻琴键）之间的频率比为，……2分

所以两个成一度之间的音符频率比为.……4分

（2）通过五声调式，可以先构成一组“五声调式”：，，，，，，…………6分

将其中大于的降一个八度，即除以：，，，，，，…………9分

根据参考数据可以估计得到，五个音分别为1，5，2，6，3.

因此“宫商角徵羽”对应的音高为1，2，3，5，6.……10分

18.本题考察抛物线的定义，同时考察学生逻辑推理与数学运算的能力，本题满分12分.

解：

（1）设抛物线的准线的方程为，则可知，解得，……2分

所以的方程为.……3分

（2）作于，于.

由抛物线定义，，，……5分

又因为，，

所以，，……8分

由此，，，

所以，，……10分

所以，为定值.……12分

19.本题考察空间向量的运算与应用，考察学生数学建模、逻辑推理、数学运算、数学抽象与直观想象的能力，本题满分12分.

解：

（1）设中点为，连接，由于，因此，

又因为平面平面，所以平面.

以为原点作空间直角坐标系，则，，

设，则.……2分

所以，，.设平面的法向量为，

则有，所以取，则.

因为棱可能垂直于平面，所以，则，无解，所以不可能……4分

（2）由重心的性质，，同理，

所以……7分

，所以……8分

设，令，则，……10分

.令，，，

则，因为，，

所以，即，又因为，所以在上是减函数……11分

因此，因此，求与夹角余弦值的最大值为.……12分

20.本题考察双曲线的定义与几何性质，同时考察学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和直观想象的能力，本题满分12分.

解：

（1）设，由题意，化简可得

所以的轨迹为.……3分（不去点扣1分）

（2）由向量积的几何意义，作，垂足为.

所以，因此，.……5分

设，联立：，可得二次方程

判别式有，解得……6分

由方程可得，，……7分

由弦长公式……9分

解得，，，……11分

因此的方程为或.……12分

（注：每少一个解扣1分）

21.本题考察向量的综合运用，同时考察学生数学运算、数学抽象和直观想象等能力，本题满分12分.

解：

（1）①.……2分

②由题，，可以分解为.……4分

所以，……5分

因此的运动轨迹可以表示为.……6分

（2）设该坐标系的基底为.……7分

设在平面内的投影为，所以由物理学知识，，.……8分

由题设，可以将记作……10分

因此类似（1）②中可以表示的轨迹为.

将分别代入和，……11分

可得：，消去、，可得.……12分

22.本题考察椭圆及椭圆的几何性质和函数最值得应用，同时考察学生数学运算、数学抽象和直观想象等能力，本题满分12分.

解：

（1）可知，，所以，因此.……1分

所以的方程为.……2分

（2）①可知直线的方程为，直线的方程为.

联立可解得，，……3分

因此.……4分

②设直线和直线的方程为，，设，，，

联立和椭圆：，可得，同理：.…5分

又因为，，所以，

，即；

同理，，即；……7分

设，于是……9分

因此

又因为，所以：

，设，……10分

下面证明：，化简：，

即证明，，而的判别式小于等于0，因此原题得证.……12分