辽宁省沈阳市名校联合体2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省沈阳市名校联合体2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题：的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为特称命题的否定为全称命题，
所以命题“”的否定为“”.
故选：A.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】要使函数有意义，必须，解得且，
则函数的定义域为，
故选：D．
3. 小五用2000元买了一部手机，由于电子技术的飞速发展，手机制造成本不断降低，每隔一年手机的价格就降低一半.若不计折旧费，则两年后这部手机的价值为（ ）
A. 500元B. 600元C. 800元D. 1000元
【答案】A
【解析】经过两年，手机价值为（元）.
故选：A.
4. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，D正确；
当时，满足，但是，A,C不正确；
当时，满足，但是，B不正确；
故选：D
5. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，为增函数，再由，
所以，根据零点存在定理知，零点在范围内．
故选：B.
6. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，当且仅当时取等号，
由对任意实数恒成立，得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
7. 已知关于不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】关于的不等式的解集为，
，，
可化为，
即
，
关于的不等式的解集是.
故选：D.
8. 已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. 或或
B. 或或
C. 或或
D. 或或
【答案】A
【解析】因为，所以或，
因为是奇函数，是偶函数，
所以时，，时，，时，，时，；
所以时，，时，，时，， 时，，
所以当时，解得或，
所以当时，解得，
综上可知，的解集为或或，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】AD
【解析】对于A，，定义域均为，是同一函数；
对于B，与解析式不同，不是同一函数；
对于C，，定义域为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数；
对于D，，定义域均为R，是同一函数.
故选：AD．
10. 设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为1B. 的最小值为2
C. 的最大值为2D. 的最小值为2
【答案】BCD
【解析】对于A中，因为正实数满足，由，所以，
解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C中，由，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，由，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则正确的是（ ）
A. 的定义域为R
B. 是非奇非偶函数
C. 函数的零点为0
D. 当时，的最大值为
【答案】AD
【解析】由可得：函数的定义域为R，故A正确；
由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误；由解得，，所以零点为，故C错误；
当时，，取等号条件为，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出一个最小值为2的偶函数______．
【答案】（答案不唯一）.
【解析】对于，
因为，
所以为偶函数，
因为，所以的最小值为2，
所以符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
13. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.
【答案】或
【解析】不等式解集为，不等式的解集为，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
14. .①若，求__________.②若在上单调递增，则的取值范围是__________.
【答案】①. ②.
【解析】①若，则，
由，则；
②若在上单调递增，
则，解得，或.则的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求，的值；
（2）若，且，求，的值.
解：（1）若，
则有，解得；
（2），
因为，
所以，解得.
16. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（1）不等式可化为，∴不等式的解集是．
（2）不等式可化为，∴不等式的解集是．
（3）不等式可化为，∴不等式的解集是．
（4）不等式可化为，∴不等式的解集是或．
17. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
解：（1）由题意，，
因为时，，所以，
所以，.
（2）因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取“”，
所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为.
18. 已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为二次函数的解析式为，
所以的对称轴为且开口向上， 即的增区间为，
又函数在上单调递增，
所以，可得，
解得．
所以的取值范围是；
（2）令
，
假设存在实数，使得函数在区间上的最小值为，
则，得，解得或．
当时，在上递增，
则，所以，得；
当时，在上递减，
则，所以，得，
综上所述，存在实数或，使得函数在区间上的最小值为.
19. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，n且，使得在区间上的最大值为，最小值为，则称为的一个“保值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当）时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在内的“保值区间”；
（3）若以函数在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数的图象，求函数的值域．
解：（1）因为为R上的奇函数，则，
因为当）时，，
所以当时，则，
∴，
所以；
（2）设，由在上单调递减，
可得，
所以是方程，即的两个不等正根，
，
，
所以在内的“保值区间”为；
（3）设为的一个“保值区间”，
则，
∴m，n同号．
当时，同理可求在内的“保值区间”为，
∴，
所以函数的值域是．