河北省邢台市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省邢台市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在一次比赛中，五位评委给甲选手的打分分别为，则甲选手得分的第30百分位数为（ ）
A．88B．89C．90D．92
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的直观图，若，则（ ）
A．8B．4C．D．
6．不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（ ）
A．与互为对立事件B．与互斥但不对立
C．与相互独立D．
7．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知为互斥事件，且，则 .
二、多选题
10．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
11．五名同学各投掷骰子一次，分别记录每次投掷骰子的点数，根据下列统计结果，可以推断可能投掷出点数1的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2B．平均数为3，极差为4
C．平均数为4，方差为2D．中位数为3，众数为4
12．如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ）
A．
B．四面体的体积为
C．过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为
D．过三点的平面截四面体所得的截面面积为
三、填空题
13．已知为纯虚数，则实数 .
14．如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为 .
四、解答题
15．甲､乙､丙三人独立地作答一道试题，且甲､乙､丙答对该道试题的概率分别为.
(1)求无人答对该道试题的概率；
(2)求至少有两人答对该道试题的概率.
16．如图，在正四棱柱中，是的中点，且.

(1)证明：平面.
(2)证明：平面.
17．的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
18．某地为了解当她学生每天的运动时长，随机地调查了若干名学生一天的运动时长（单位：分钟），将所得数据按分组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.已知运动时长在的频率之比为，且运动时长在的频数为7.

(1)求被调查的学生总人数；
(2)求被调查的学生运动时长的平均数与中位数（结果保留小数点后两位，同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表）；
(3)按比例用分层随机抽样的方式从运动时长在内的学生中抽取6人，再从这6人中任选3人，求运动时长在内的各有1人被选中的概率.
19．如图1，在中，，如图2，将沿着翻折至，使得平面平面.
(1)若，求三棱锥的体积；
(2)若，求二面角的正切值；
(3)求取得最小值时的值.
1．B
利用第30百分位数的定义求解即可.
【详解】将甲选手得分由小到大排列为：，
由，得甲选手得分的第30百分位数.
故选：B
2．C
先进行复数的除法运算化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】∵，
∴其在复平面内对应的点位于第三象限
故选：C.
3．B
利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦定理及同公式判断得解.
【详解】在中，
由，得，
当时，若是钝角，则，因此“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．D
利用数量积的定义及运算律求解即得.
【详解】由单位向量的夹角的余弦值为，得，
所以.
故选：D
5．A
根据给定的直观图，利用余弦定理求出，再利用斜二测画法求出.
【详解】在中，，
由余弦定理，得，
解得，所以.
故选：A
6．D
列出样本空间及事件，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义判断即得.
【详解】记两个黄球为，两个红球为，任取两个球的样本空间，
事件，事件，
对于AB，事件，即能同时发生，不互斥，AB错误；
对于CD，，C错误，D正确.
故选：D
7．B
取的中点，连接，，由是的中点，得∥，从而确定异面直线与所成角，根据题中条件分别求得，再由余弦定理即可得解.
【详解】取的中点，连接，，因为是的中点，所以∥，
则异面直线与所成角.
直三棱柱中，侧面是正方形，3，，
∴，.
在中，在中，
在中，.
在中，.
∴在中，.
故选：B.
8．D
根据给定条件，结合诱导公式求出关系的所有可能结果，再逐项分析判断.
【详解】在非等腰中，，，由，
得或或或，
即或或或，
当时，，则，，即AC可能正确；
当时，，B可能正确；
对于D，要，而，则必有，即，不成立，D错误.
故选：D
9．/
利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得.
【详解】因为为互斥事件，则，
所以.
故答案为：.
10．AC
根据给定条件，利用向量基底的定义，共线向量的坐标表示逐项判断即得.
【详解】对于A，，不共线，可作基底，A是；
对于B，，，不能作基底，B不是；
对于C，，不共线，可作基底，C是；
对于D，不能作基底，D不是.
故选：AC
11．ABD
举例说明判断ABD；根据出现点数1时方差与2的大小判断C.
【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可出现点1，A是；
对于B，当掷骰子出现的结果为1，2，3，4，5时，满足平均数为3，极差为4，可出现点1，B是；
对于C，平均数为4，若出现点数1，则最多一个1，否则，
另四个数的和为19，则最多两个4，，
因此当平均数为4，方差为2时，一定不会出现点数1，C错误；
对于D，当郑骰子出现的结果为1，2，3，4，4时，满足中位数为3，众数为4，可出现点1，D是，
故选：ABD
12．ACD
利用球的表面积公式求出球半径，再结合正四面体的结构特征逐项求解判断.
【详解】由球的表面积为，得球的半径，连接并延长交平面于，连接，
则点是正的中心，，，
对于A，由，解得，A正确；
对于B，四面体的体积，B错误；
对于C，过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面三角形与相似，
其面积为，C正确；
对于D，延长交于，连接，则是的中点，，
过三点的平面截四面体所得的截面为，
其面积为，D正确.
故选：ACD
13．
利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解.
【详解】，
由为纯虚数，得，所以.
故答案为：
14．
为定值，所以在方向射影最大时，最大.
【详解】，
最大时，的值最大，即在方向射影最大时，的值最大
所以于同向共线时最大，
在所有于同向共线的位置中，当M位于A、D两点时最大.
此时，
.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率，结合概率的加法公式计算即得.
【详解】（1）依题意，无人答对该道试题的概率为.
（2）至少有两人答对该道试题的概率.
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
（1）连接，利用线面平行的判定推理得证.
（2）利用正四棱柱的结构特征，线面垂直的性质、判定推理得证.
【详解】（1）在正四棱柱中，连接，连接，则为中点，
而是的中点，则，又平面，平面，
所以平面.

（2）四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形，
在正方形中，，则矩形为正方形，，而，
因此，又平面，平面，则，又，
平面，于是平面，而平面，
因此，又平面，
所以平面.
17．(1)9
(2)
（1）利用余弦定理求出即得.
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算得解.
【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，
所以.
（2）由余弦定理，得，即，
而，解得，
所以的面积为.
18．(1)60；
(2)平均数约为35.67，中位数约为；
(3)0.3。
（1）求出运动时长在的频率和频数即可.
（2）利用频率分布直方图估计平均数和中位数的方法列式计算.
（3）求出指定的3个区间内抽取的人数，再利用列举法求出古典概率.
【详解】（1）由运动时长在的频率之比为，运动时长在的频数为7，
得运动时长在的频数分别为，
由频率分布直方图，得运动时长在的频率和为，
所以被调查的学生总人数为.
（2）由（1），得数据在内的频率依次为，
所以被调查的学生运动时长的平均数；
中位数，，解得，
所以被调查的学生运动时长的中位数约为.
（3）抽取的6人中，运动时长在内的人数分别为，分别记为，，，
任取3人的样本空间
，共20个，
运动时长在内的各有1人被选中的事件，共6个，
所以.
19．(1)
(2)
(3)
1）由题意知，当时，是的中点.取的中点，连接.由平面平面根据面面垂直的性质可证得平面.从而根据计算即可.
（2）过作,垂足为，若时，可得.结合平面平面可得平面，故即为二面角的平面角，.再通过计算即可
（3）在中，设，则，
过作，垂足为，证得，根据余弦定理结合勾股定理将表示为，的函数，通过三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）当时，由,得，即是的中点.
∵∴
取的中点，连接.则，.
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面.
所以，三棱锥的体积.
（2）由（1）知在中，.
若时，，.
过作,垂足为，则.
,
由得.即.
在三棱锥中，,
∵平面平面，平面平面，平面,
∴平面.
又∵，∴即为二面角的平面角.
在中，
所以，二面角的正切值为
（3）在中，设，则，
过作，垂足为，则，，
在中，由余弦定理，得
.
在三棱锥中，
平面平面，平面平面，,平面
∴平面.
∵平面，所以,
在中，
.
由，得，
当，即时，取得最小值，.
此时，是等边三角形，，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
D
B
D
/
AC
题号
11
12








答案
ABD
ACD