第十一章 第4讲　小专题 “动态圆”法解决带电粒子在磁场中运动的临界极值问题练习含答案-高考物理一轮专题

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[C] 3∶2[D] 3∶2
【答案】 C
【解析】 由题意知,带电粒子从A点沿AB方向射入磁场时的轨迹圆心处于D点,即粒子运动半径r=L,轨迹对应的圆心角为θ=90°;当粒子从P点入射时,根据平移圆模型,其运动轨迹如图中Ⅱ所示,根据几何关系得cs θ′=r-L2r=12,即θ′=60°,由于运动时间t=θ360°T,所以t1∶t2=θ∶θ′=3∶2,选项C正确。
考点二 “旋转圆”模型
[例2] (2024·安徽芜湖阶段练习)如图所示,水平直线边界PQ的上方空间内有方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,长为2d、与PQ平行的挡板MN到PQ的距离为d,边界PQ上的S点处有一电子源,可在纸面内向PQ上方各方向均匀地发射电子。已知电子质量为m、电荷量为e,速度大小均为eBdm,N、S的连线与PQ垂直,不计电子之间的作用力,则挡板MN的上表面没有被电子击中部分的长度为( )
[A] d[B] 3d-d
[C] (2-3)d[D] (3-3)d
【答案】 D
【解析】 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力有evB=mv2r,可得r=mveB=d,作出粒子从不同方向射出的轨迹,如图所示,则挡板MN的上表面被电子击中部分为CD,根据几何关系可得DN=(2d)2-d2=3d,CN=d,故没有被电子击中部分的长度为s=2d-(3d-d)=(3-3)d,故选D。
考点三 “放缩圆”模型
[例3] (2024·广西玉林二模)(多选)如图所示,边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点,一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,不计粒子重力,下列说法正确的是( )
[A] 粒子可能从B点射出
[B] 若粒子从C点射出,则粒子做匀速圆周运动的半径为32L
[C] 若粒子从C点射出,则粒子在磁场中运动的时间为πm3qB0
[D] 若粒子从AB边射出,则粒子的速度越大,其在磁场中运动的时间越短
【答案】 BC
【解析】 带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边射入磁场,由左手定则可知,粒子向下偏转,由于BC边的限制,粒子不能到达B点,故A错误;粒子从C点射出的轨迹如图甲所示,根据几何关系可得R2=(R-L2sin 60°)2+(L-L2cs 60°)2,解得R=32L,则粒子轨迹对应圆心角的正弦值为sin∠O=L-12Lcs60°R=32,则∠O=60°,粒子在磁场中运动的时间为t=60°360°T=16×2πmqB0=
πm3qB0,故B、C正确;由qvB0=mv2R,可知R=mvqB0,
若粒子从AB边射出,则粒子的速度越大,轨迹半径越大,如图乙所示,但轨迹对应的圆心角相同,根据T=2πmqB,可知粒子在磁场中运动的周期相等,则其在磁场中运动的时间相同,故D错误。
(满分:60分)
对点1.“平移圆”模型
1.(4分)如图所示,在xOy平面的Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场区域,线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为mv02qR,方向垂直于xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为( )
[A] πR6v0[B] πR4v0
[C] πR3v0[D] πR2v0
【答案】 C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B=mv02r,解得r=2R,如图所示,当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时,粒子在磁场中运动的时间最长,由于sin α=FEr,要使圆心角α最大,则FE最长,经分析可知,当粒子从y轴上的D′点射入,从x轴上的E′点射出磁场时,粒子在磁场中运动的时间最长,有sin αm=OE'r,解得αm=π6,最长时间为tm=π62π·2πrv0,解得tm=πR3v0,故C正确。
2.(6分)(2025·河南开封期末)(多选)如图所示,在平面等腰直角三角形ACO区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量带正电的粒子先后以速度v0垂直OC边从不同位置射入磁场,有些粒子能在边界AO上相遇。已知OC>3mv0qB。粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力,不考虑各粒子之间的相互作用。下列判断正确的是( )
[A] 磁场方向垂直于纸面向外
[B] 磁场方向垂直于纸面向里
[C] 相遇粒子的入射时间差的最大值为πm2qB
[D] 相遇且入射时间差最大的两粒子入射点之间的距离为(2+2)mv02qB
【答案】 BC
【解析】 由题知,有些粒子能在边界AO上相遇,说明带正电的粒子向AO偏转,根据左手定则知,磁场方向垂直于纸面向里,A错误,B正确;如图所示,设粒子在P点相遇,做圆周运动的半径为r,当粒子轨迹在AO处相切时间差有最大值,此时两轨迹对应的圆心角分别为 θ=45°和α=135°,设θ=45°时运动时间为t1,α=135°时运动时间为t2,则时间差最大值为Δtm=t2-t1=(135°360°-45°360°)2πmqB=πm2qB,C正确;由几何关系知,r=OP,则相遇且入射时间差最大的两粒子入射点之间的距离为Δx=OD-OE=OO′+O′D-OE=r2+r2+r-r=2mv0qB,D错误。
对点2.“旋转圆”模型
3.(4分)如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子,速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中与x轴及y轴最远距离分别为( )
[A] 2mvqB 2mvqB[B] mvqB 2mvqB
[C] 2mvqB mvqB [D] mvqB mvqB
【答案】 A
【解析】若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示),可以得出离y轴最远为|x|=2r=2mvqB,离x轴最远为y=2r=2mvqB,所以A项正确。
4.(6分)(2024·重庆渝中阶段练习)(多选)如图所示,在等腰直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,O为ab边的中点,在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率v=qBLm不断向磁场中释放相同的带正电粒子,已知粒子的质量为m,电荷量为q,直角边ab长为22L,不计重力和粒子间的相互作用力。则( )
[A] 从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为πm4qB
[B] 从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为πm3qB
[C] 粒子能从bc边射出的区域长度为L
[D] 粒子能从bc边射出的区域长度为2L
【答案】 BD
【解析】 粒子在磁场中做圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=mv2r,解得r=L;如图,过O点作ac的垂线Od,则Od=Oacs 45°=L,此时对应轨迹的弦长最短,运动时间最短,由几何关系知轨迹对应的圆心角为60°,则最短时间为t=60°360°T,又T=2πrv,则t=πm3qB,故A错误,B正确;粒子轨迹与ac相切时,交bc边最远的e点,由几何关系可知,Oe长度为直径,则粒子能从bc边射出的区域长度为eb=Oecs 45°=2L,故C错误,D正确。
对点3.“放缩圆”模型
5.(4分)如图所示,磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里,图中虚线为磁场的边界,其中bc段是半径为R的四分之一圆弧,ab、cd的延长线通过圆弧的圆心,Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子,在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场,已知所有粒子均从圆弧边界射出,其中M、N是圆弧边界上的两点,不计粒子间的相互作用和重力。下列分析正确的是( )
[A] 粒子带负电
[B] 从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
[C] 从M点射出的粒子在磁场中的运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
[D] 所有粒子所用最短时间为2πm3qB
【答案】 D
【解析】 粒子做逆时针的匀速圆周运动,根据左手定则可知,粒子带正电,A错误。根据qvB=mv2r得v=qBrm,从M点射出粒子的圆周半径更小,则速度更小,B错误。由t=θ2πT=θ2π·2πmqB可知,粒子周期不变,圆周运动的圆心角越大,运动时间越长,由几何关系可知,弦切角等于圆心角的一半,弦切角越小,运动时间越短,如图所示。当弦与bc圆弧边界相切时,弦切角最小,Ob等于R,由几何关系,此时圆周运动的圆心角为120°,则最短时间为tmin=120°360°·2πmqB=2πm3qB,
M、N两点具体位置未知,则无法判断从M点射出粒子所用时间和从N点射出粒子所用时间的大小关系,C错误,D正确。
6. (14分)如图所示,正方形区域abcd内(含边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场,ab=l,Oa=
0.4l,大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场,不计粒子所受重力和粒子间的相互作用,已知带电粒子的质量为m、电荷量为q,磁场的磁感应强度大小为B,取sin 37°=0.6,cs 37°=0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间;
(2)若带电粒子从ad边离开磁场,求v0的取值范围。
【答案】 (1)143πm90qB (2)qBl4m